מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עליה וירידה

הקדמה

כעת, אחרי שאנחנו יודעים למצוא נקודות קיצון, פשוט מאוד למצוא מתי הפונקציה עולה ומתי היא יורדת. כל שעלינו לעשות הוא לבחון את התנהגות הפונקציה בין שתי נקודות קיצון (או בין $-\infty$ עד נקודת הקיצון הראשונה ומנקודת הקיצון האחרונה עד $\infty$) בנפרד, ולבדוק אם הוא מהווה עליה או ירידיה.

חזרה - התנהגות הפונקציה ביחס לנגזרת

נחזור בשנית ונסביר לעומק על הנושא שהוסבר בפרק הנגזרת ויושם בפרק נקודת קיצון. אולם, הנושא מורחב בפרק הקשר בין גרף פונקציה וגרף נגזרת, אך, עדיין רצוי לקרואו בכדי להקל על הלמידה בהמשך.

הנגזרת עוזרת לנו לגלות את התנהגות הפונקציה, כאשר:

1. ערכי הנגזרת ($y'$) חיובים - הפונקציה עולה.
2. ערכי הנגזרת שלילים - הפונקציה יורדת.
3. ערכי הנגזרת שווים לאפס - נקודת קיצון של הפונקציה.

התנהגות הפונקציה ביחס לנגזרת הראשונה

רעיון זה מיושם בטבלה (דרך א') לגילוי סוג נקודת הקיצון; כאשר לקחנו שתי נקודות (לפני ואחרי) הנקודה החשודה, בכדי לזהות את התנהגות הפונקציה - האם היא עולה (תוצאת הנגזרת חיובית) או יורדת (תוצאת הנגזרת שלילית)?

התנהגות הפונקציה ביחס לנגזרת השנייה

גם, בדרך השנייה (גזירה שנייה), הרעיון בה לידי ביטוי, אולם, הוא בודק את התנהגות הנגזרת השנייה ביחס לפונקציה. גילנו שהיחס בין הנגזרת השנייה לפונקציה הוא הפוך, כלומר:

1. חיובית - הפונקציה יורדת.
2. שלילית - הפונקציה עולה.
3. אפס - נקודת פיתול. נלמד בהמשך בפרק הקשר בין גרף פונקציה וגרף נגזרת

ולכן, כאשר קיבלנו:

1. תוצאה שלילית - הנקודה הייתה נקודת מקסימום.
2. תוצאה חיובית - הנקודה הייתה נקודת מינמום.

הסבר

הנגזרת עוזרת לנו לגלות את התנהגות הפונקציה; בכדי לדעת מתי הפונקציה עולה ומתי היא יורדת, נציב מספרים בנגזרת. כאשר:

1. ערכי הנגזרת ($y'$) חיובים - הפונקציה עולה.
2. ערכי הנגזרת שלילים - הפונקציה יורדת.
3. ערכי הנגזרת שווים לאפס - נקודת קיצון של הפונקציה.

בכדי שלא נציב סתם מספרים (אפשר להציב את כל המספרים האפשריים), אנו נעזרים בנקודות קיצון שהן הנם נקודות המהוות מעבר מעליה לירידה או בין ירידה לעליה.

שלבים

השלבים יהיו זהים לשלבים שהצגנו בפרק מציאת נקודות קיצון - דרך א':

• גזירת הפונקציה.
• השוואת הנגזרת לאפס ומציאת ערכי ה-X של נקודות הקיצון.
• שימוש בטבלה:
  • נסדר את ערכי ה-x לפי סדר עולה.
  • נוסיף מספרים לפני ואחריה הנקודות החשודות.
  • נציב הנגזרת את המספרים הנבחרים. כאשר:
    • ערכי הנגזרת ($y'$) חיובים - הפונקציה עולה.
    • ערכי הנגזרת שלילים - הפונקציה יורדת.
• נרשום מי הן מבין הנקודות הן נקודות מינימום ומי הן נקודות מקסימום:
  • אם נקודה היא נקודת מינימום - הפונקציה עוברת מירידה לעלייה. כלומר, שכל הטווח שבין הנקודה הקודמת אליה הוא עלייה.
  • אם נקודה היא נקודת מקסימום - הפונקציה עוברת מעלייה לירידה. כלומר, כל הטווח שבין נקודת הקיצון הקודמת לזו, הוא טווח של ירידה.
  • במקרה של נקודת קיצון אחרונה או ראשונה - הטווח הוא בין אינסוף לערך Xשל נקודת הקיצון (קשה לתאר במילים - ראה סעיף אחרון בדוגמא).

דוגמאות

מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $\ f(x)=x^{3}+9x^{2}+15x+7$?

נפתור את התרגיל בשלבים:

• הנגזרת: $f(x)'=3x^{2}+18x+15=0$
• פתירה (באמצעות טרינום): $f(x)'=(x+1)(x+5)$
• פתרונות:
  • $\ x=-1$
  • $\ x=-5$.
• נסדר אותם על פי הסדר בציר המספרים, ונחלק את ציר המספרים ל-3 חלקים.

תא	-1	תא	-5	תא	X
תא	נקודה חשודה	תא	נקודה חשודה	תא	Y
תא	0	תא	0	תא	Y'

• נציב מספרים לפני ואחרי הנקודות החשודות נבדוק נגזרת:

0	-1	-2	-5	-6	X
פונקציה עולה	נקודת קיצון min	פונקציה יורדת	נקודת קיצון max	פונקציה עולה	Y
+	0	-	0	+	Y'

• נקבע את התנהגות הפונקציה - קיבלנו את שלושת החלקים הבאים:
  • טווח ראשון - $\ -\infty <x<-5$. נרשם גם: $x<-5$
  • טווח שני - $\ -5<x<-1$
  • טווח אחרון - $\ -1<x<\infty$. נרשם גם: $X>-1$

הפתרון: 
* תחומי העלייה של הפונקציה: $\ -\infty <x<-5$ ו-$\ -1<x<\infty$ 
  ניתן לכתוב בקצרה פשוט $\ x<-5$ ו$\ x>-1$.
* תחום הירידה של הפונקציה: $\ -5<x<-1$.