מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות

באמצעות השימוש בנגזרת, ניתן לחקור את הפונקציה, וללמוד עליה מספר תכונות כדוגמת נקודות קיצון מקומיות (נקראת גם נקודת קיצון אזורית, או, בשמה הלועזי ; נקודת קיצון לוקאליות).

מושגי יסוד

מהי נקודת קיצון?

נקודת קיצון

נקודת קיצון מקומית היא הנקודה בעלת ערך ה-Y גבוה יותר משתי הנקודות שמשתי צדדיה (נקודת מקסימום), או בעלת ערך ה-Y נמוך יותר משתי הנקודות שמשתי צדדיה (נקודת מינימום).

נקודת קיצון

נקודת קיצון יכולה להיות נקודה שנמצאת בתוך הפונקציה, או נקודה שנמצאת בקצה הפונקציה, כפי שמתואר באיור. לכן, מגדירים :

1. נקודת קיצון בקצוות - נקודות הקיימות בפונקציה סגורה (כמו : קטע) או בפונקצית קרן. יש לה גבול (תחום הגדר). באיור שלנו, זו הנקודה השמאלית ביותר.
2. נקודת קיצון פנימית - נקודת קיצון הנמצאת בתוך גבולות הפונקציה. בדוגמא, שלוש הנקודות מצד ימין. :בכדי למצוא נקודות אלו אנו נעזרים בנגזרת, להבדיל מנקודות בקצוות.

בכל נקודת קיצון פנימית, בה הפונקציה עוברת ממצב עליה/ירידה, השיפוע של המשיק שווה לאפס. ובשפה המתמטית 
: $\ f'(x)=0$.

סוגים של נקודות קיצון

ההבחנה העיקרית היא בין שני סוגים של נקודות :

1. נקודת מקסימום -נקודה בה הפונקציה עוברת ממצב של עליה למצב של ירידה. לכן, שיפוע המשיק עובר משיפוע חיובי לשיפוע שלילי.
2. נקודת מינימום - נקודה בה הפונקציה עוברת ממצב של ירידה למצב של עליה. לכן, שיפוע המשיק עובר משיפוע שלילי לשיפוע חיובי.
3. נקודות קיצון מוחלטות/גלובלית - נקודת קיצון מוחלט הינה נקודת קיצון מקומית הנמוכה/גבוהה ביותר בכל הפונקציה. זאת להבדיל, מנקודת קיצון מקומית רגילה שאינה חייבת להיות דווקא הנקודה הנמוכה/גבוה ביותר.
4. נקודת פיתול -נקודה שאינה נקודת קיצון, אולם, היא יחודית לשאר נקודות הפונקציה כיוון שהיא מהווה מעבר מעליה לעליה או מירידה לירידה בפונקציה. לכן חשוב לציין כי לא כל נקודה בה $\ f'(x)=0$, היא נקודת קיצון. הרחבה בנושא ראה פרק נקודות פיתול.

מציאת נקודת קיצון פנימית

בכל נקודת קיצון פנימית, בה הפונקציה עוברת ממצב עליה/ירידה, השיפוע של המשיק שווה לאפס. ובשפה המתמטית 
: $\ f'(x)=0$.

על סמך משפט זה, פשוט לנו מאוד למצוא את נקודות הקיצון וזאת על ידי משוואה פשוטה. במשוואה נבדוק מתי שיפוע המשיק לפונקציה (הנגזרת) שווה לאפס: $\ f'(x)=0$. מכאן שהשלבים למציאת נקודות הקיצון הם :

1. גזירת הפונקציה.
2. מציאת ערכי $\ X$ של הנקודות - השוואה לאפס ($\ f'(x)=0$).
3. מציאת ערכי $\ Y$ של הנקודות- את ערכי ה-$\ y$ נמצא על ידי הצבת ערכי ה-X במשוואה הפונקציה המקורית.
4. טבלה - בדיקת סוג נקודת קיצון.

מציאת נקודות קיצון בקצוות

תמיד נבצע בדיקה ביחוד כאשר לפונקציה שלנו יש : תחום (למשל, $\pi \leq x\leq 2\pi$), תחום הגדרה (פונקצית שורש, שבר ועוד).
לדוגמא, פונקצית שורש היא פונקציה סגורה. כפי שלמדנו, בכדי למצוא תחום ההגדרה של פונקצית שורש, למשל, $y={\sqrt {x^{2}-9}}$, נבצע תחילה את הפעולות הבאות :

1. $\ x^{2}-9>0$.
2. נפתור את אי־השיוויון. כלומר, $X=\pm 3$
3. נצייר פרבולה ונבדוק מתי הנקודות מעל ציר ה-$\ X$.
4. נגיע לפתרון; תחום ההגדרה של הפונקציה הוא : $-3\leq x\leq 3$
5. כלומר, נקודות קיצון בקצוות הן $\ (3,0)$ ו-$\ (-3,0)$.
6. טבלה - בדיקת סוג נקודת קיצון.

סוג נקודת הקיצון

דרך א' - טבלה

בכדי לגלות את סוג נקודת הקיצון נעזר בטבלה. בטבלה יופיעו ערכי X של הנקודות החשודות כשאותה תוחמות שתי נקודות (לפניה ואחריה), אותן אנו נבחר. עבור נקודות אלו, נבדוק את שיפוע המשיק, כך, שנוכל לגלות האם הפונקציה עולה לפני הנקודה? או יורד?.לא לשכוח את נקודות הקצה!

כאשר שיפוע המשיק יעלה (כלומר, ערכו יהיה חיובי), הפוקציה תעלה. כאשר שיפוע המשיק ירד (כלומר, ערכו 
יהיה שלילי), הפונקציה תירד.

בעקרון הטבלה תראה כך :

נקודת קצה	נקודה בין שתי הנקודות	נקודה חשודה	נקודה בין שתי הנקודות	נקודת קצה	ערכי $\ X$ של הנקודות
$\ 0$	תלוי בנגזרת שתתקבל	$\ 0$	תלוי בנגזרת שתתקבל	$\ 0$	נגזרת ($\ y'$)
נקודת קיצון	פונקציה עולה/יורדת בהתאם לנגזרת	נקודת קיצון	פונקציה עולה/יורדת בהתם לנגזרת	נקודת קיצון	פונקציה

דוגמא

מצא את נקודות המינימום והמקסימום של הפונקציה $\ f(x)=x^{3}+9x^{2}+15x+7$.

נפתור כפי שלמדנו:

• לפונקציה אין תחום. מציאת נגזרת הפונקציה : $\ f'(x)=3x^{2}+18x+15$.
• השוואת נגזרת לאפס : $\ 3x^{2}+18x+15=0$.
• פישוט : $\ 3(x+1)(x+5)=0$
• מציאת ערכי X של הנקודות :
  • $\ x=-1$
  • $\ x=-5$.
• מציאת ערכי $\ y$ של הנקודות :
  • $\ f(-1)=(-1)^{3}+9(-1)^{2}+15(-1)+7=0$
  • $\ f(-5)=(-5)^{3}+9(-5)^{2}+15(-5)+7=32$
• שימוש בטבלה - הצבת הנקודות ($\ -1,-5$) החשודות ובחירת מספרים הקרובים אליהן :

$\ 0$	$\ -1$	$\ -4$	$\ -5$	$\ -6$	ערכי $\ X$ של הנקודות
$\ y'(0)=3*0+18*0+15=+$	$\ 0$	$\ y'(-4)=3*(-4)^{2}+18*(-4)+15=-9=>-$	$\ 0$	$\ y'(-6)=3*(-6)^{2}+18*(-6)+15=15=>+$	$\ y'$
פונקציה עולה	$\ 0$	פונקציה יורדת	$\ 0$	פונקציה עולה	$\ y$
$\nearrow$	נקודת קיצון מינימום ($\ min$)	$\searrow$	נקודת קיצון מקסימום ($\ max$)	$\nearrow$	סוג נקודה

פתרון :

• הנקודה $\ (-5,32)$ היא נקודת מקסימום.
• הנקודה $\ (-1,0)$ היא נקודת מינמום.

דרך ב': נגזרת שנייה

באמצעות הצבת ערך $x$ של נקודת הקיצון בנגזרת השנייה, נוכל לדעת את אופייה של נקודת הקיצון. היחס בין הפונקציה לנגזרת שנייה :

1. פתרון הנגזרת השנייה יוצא חיובי - נקודת הקיצון היא מינמום.
2. פתרון הנגזרת השנייה יוצא שלילי - נקודת הקיצון היא מקסימום.

כדאי לדעת: אין צורך לבצע גזירה מלאה לפונקצית שבר. הרי המכנה תמיד חיובי מפני שמועלה בחזקה שנייה

כדאי לדעת: תיתכן נקודת קיצון בה הנגזרת השניה היא אפס (לא חיובית ולא שלילית)

דוגמה א'

במקום הטבלה אותה יצרנו בחלק הקודם, נמשיך ונפתור בדרך זו. הצבה בנגזרת שנייה :

• $\ f''(-1)=6(-1)+18=12\rightarrow +$
• $\ f''(-5)=6(-5)+18=-12\rightarrow -$

כלומר, הנקודה הראשונה (-1) היא נקודת מינימום, בעוד השניה (-5) מקסימום.

לפונקציה שתי נקודות קיצון, נקודת מינימום אחת $\ (-1,0min)$ ונקודת מקסימום אחת $\ (-5,32)max$

דוגמה ב'

מצא נוסחה לערך ה-$\ x$ של קודקוד פרבולה (פונקציה מהצורה $\ f(x)=ax^{2}+bx+c$) ובדוק מה התנאי לנקודת מינימום, ומה התנאי לנקודת מקסימום.

נעבור לפתרון:
כמובן שניתן לבדוק זאת גם בלי נגזרת אך בכדי לתרגל זאת, נעשה כפי שלמדנו:

• $\ f'(x)=2ax+b$ - גזרנו בדרך הרגילה.
• $\ 2ax+b=0$ - נבדוק מתי שיפוע המשיק (כלומר הנגזרת) שווה ל-$0$.
• $x=-{\frac {b}{2a}}$ - נבטא לפי המשוואה את x באמצעות a ו-b,

זהו, מצאנו נוסחה אשר מבטאה את ערך הx של קודקוד הפרבולה.

עכשיו נעבור לחלק השני ונבדוק את סוג נקודות הקיצון :

• $\ f''(x)=2a$ - נגזור שנית את הפונקציה בשביל לבדוק אם זוהי נקודת מינימום או מקסימום.

עכשיו, ניתן לראות, כי הדבר היחידי אשר יכול להשפיע על היותה של הפונקציה שלילית או חיובית הוא $\ a$, שכן 2 הוא קבוע.

• אם $\ a$ חיובי, פירוש הדבר שהנגזרת השנייה חיובית, כלומר נקודת קיצון מסוג מינימום.
• אם $\ a$ שלילי, פירוש הדבר שהנגזרת השנייה שלילית, כלומר נקודת קיצון מסוג מקסימום.

איזו שיטה עדיפה?

יתכנו מצבים בהם תמצאו את עצמכם משתמשים בדרך שפחות עדיפה לכם כיוון שהיא פשוטה יותר בתרגיל ספציפים (לפעמים בבגרות "מכריחים" אתכם להשתמש באחת מהדרכים, כמו בבגרות הזו, תרגיל 4). לכן, חשוב לדעת את שתי הדרכים.

דוגמה

1. מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ב'-2 שאלון 035806/עמוד 102 סעיף 1