מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/הגדרה פשוטה של פונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה/פונקצית קוסינוס

פונקצית סינוס

פונקצית הקוסינוס תחום הגדרה לאור העובדה שניתן להציב בפונקציית קוסינוס את כל הזווית (סיבוב) ממעגל היחידה הטריגונומטרי, פונקציית קוסינוס מוגדרת עבור : $x\in \mathbb {R}$. מנגד בשל אורך הרדיוס פונקציית הקוסינוס חסומה בין $-1\leq x\leq 1$ תחום שלילי וחיובי פונקצית קוסינוס חיובית מצידו הימין של ציר ה-$\ y$ ושלילית מצדו השני של הציר. פונקצית הקוסינוס מבטא את ציר ה-$\ x$, מכאן, שמימין לציר ה-$\ y$ - ערכי $\ x$ חיובים. משמאל לציר ה-$\ y$ - ערכי $\ x$ שלילים. נסיק שפונקצית הקוסינוס מוגדרת : תחום חיוביות - כאשר זוויותיה מצד ימין לציר ה-$\ y$. תחום שליליות - כאשר זוויותיה משמאל לציר ה-$\ y$. על פי ההסקה, מבחינת רביעים על הצירים, נוכל לומר שפונקצית קוסינוס : ברביע ראשון חיובית (מצד ימין לציר $\ y$), לכן, הזוויות שלה בתחום $0^{\circ }<x<{\frac {\pi }{2}}$ , חיוביות. הזווית ${\frac {\pi }{2}}$ היא נקודת קיצון. ברביע שני, הפונקציה שלילית (מצד שמאל לציר ה-$\ y$) . שמו לב, הזווית ${\frac {\pi }{2}}$, היא נקודת מפנה (מערכים חיובים לשלילים) אך, היא אינה נקודת קיצון (הנגזרת אינה שווה לאפס). ברביע שלישי, ציר ה-$\ x$ עדין שלילי ולכן, גם ערכי הפונקציה ${\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {3\pi }{2}}$, עדין שלילים. הפוקנציה חוזרת להיות חיובית, ברביע הרביעי, כאשר היא חוצה את הזווית ${\frac {3\pi }{2}}$ ושוב נמצאת בצידו הימין של מעגל היחידה. הפוקנציה שומרת על ערכה בכל סיבוב ($\ k$) ולכן, היא פונקצית מחזורית. לסיכום, ארבע מוקדים מרכזים לפונקצית הקוסינוס, הזוויות $\ \pi$, ${\frac {\pi }{2}}$, ${\frac {3\pi }{2}}$ ו-$\ 2\pi$. שני מוקדים (${\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}$) שמחלקים את מעגל היחידה לתחום חיובי שלילי וכך, בהתאם לגרף. שני מוקדים ($\ 180^{\circ }$, $\ 360^{\circ }$) המהוויים נקודת קיצון, בהתאם למיקום בציר (מעל או מתחת לנקודת אפס). פונקציה זוגית פוקצית הקוסינוס היא פונקציה זוגית מפני שערכי משני צדי מעגל היחידה שווים, $\ cos(-x)=\cos x$. פונקציה זוגית, היא פונקציה סימטרית ביחס לציר השיקוף (במקרה, של פונקצית קוסינוס, ציר ה-$\ y$ מהווה ציר סימטריה), כלומר, אם נקפל את הגרף בציר $\ y$ נקבל שיקוף (שני צידה הגרף יהיו חופפים זה לזה). למשל, אם קיימת הנקודה $\ (2,3)$ מצדו השני של הגרף, תופיע הנקודה $(-2,3)$. במשוואה : $\ f(-x)=f(x)$. התכונה נובעת מכך שערכי הזוויות בחלקו הימין של מעגל היחידה זהים בהתאמה, לזוויות בצידו השני של מעגל היחידה, כפי שראינו $sin\pi =sin2\pi =0$. תרגול (לקוח מבגרות במתמטיקה 006, חורף תש"ע) הראה כי הפונקציה $f(x)={\frac {2cos^{2}{\frac {x}{2}}-1}{2cos^{2}{\frac {x}{2}}}}$ היא פונקציה זוגית. פתרון פוקנציה זוגית היא פונקציה שעבור כל $\ f(-x)=f(x)$ ובלשון אחרת, פונקציה שעבור כל $\ (x,y)$ קיימת נקודה $\ (-x,y)$. לכן נוכיח ש $\ cos(-t)=cos(t)$ : $cos(x)={\frac {2cos^{2}{\frac {x}{2}}-1}{2cos^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2cos^{2}{\frac {-x}{2}}-1}{2cos^{2}{\frac {-x}{2}}}}=cos(-x)$

פונקצית הטנגנס