מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/הגדרה פשוטה של פונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה/פונקצית סינוס

הגדרת הפונקציה הטריגונומטרית על מעגל היחידה

פונקצית הסינוס תחום הגדרה לאור העובדה שניתן להציב בפונקצית סינוס את כל הזויות (סיבוב) ממעגל היחידה הטריגונומטרי, פונקצית סינוס מוגדרת עבור : $x\in \mathbb {R}$ (בהמשך נראה כי ישנם פונקציות שלא ניתן להציב בהן את כל הזויות). תחום ערכי הפונקציה תחום ערכי הפונקציה גזורים מגודל הרדיוס של מעגל היחידה הטריגונומטרי. ערכו המרבי של הרדיוס, צלע המשולש, שווה ל- $1$ . ערכו הקטן של הרדיוס הינו $-1$ . לפיכך תחום ערכי פונקצית הסינוס חסומים לטווח $-1<\sin(x)<1$ . עובדה זו ניתן לראות גם בגרף הפונקציה. נקודות ייחודיות בחלק זה נבחר זוויות מיוחדות על מעגל היחידה זווית $0^{\circ }$ אזי ערך הפונקציה יהיה $\sin(\alpha )=0$ מפני ששיעור ערך ה- $y$ הינו $0$. זווית ${\frac {\pi }{2}}$ אזי ערך הפונקציה יהיה $\sin(\alpha )=1$ מפני ששיעור ערך ה- $y$ הינו $1$. זווית $\pi$ אזי ערך הפונקציה יהיה $\sin(\alpha )=0$ מפני ששיעור ערך ה- $y$ הינו $0$. זווית ${\frac {3\pi }{2}}$ אזי ערך הפונקציה יהיה $\sin(\alpha )=-1$ מפני ששיעור ערך ה- $y$ הינו $-1$. פונקצית סינוס חיובי ושלילי תחום שלילי וחיובי פונקצית הסינוס מבטא את ציר ה- $y$ , מכאן, שמעל ציר ה- $x$ - ערכי $y$ חיובים. מתחת ציר ה- $x$ - ערכי $y$ שלילים. נסיק שפונקצית הסינוס מוגדרת: תחום חיוביות - כאשר זויותיה מעל ציר ה- $x$ . תחום שליליות - כאשר זויותיה מתחת ציר ה- $x$ . על-פי ההסקה, מבחינת רביעים על הצירים, נוכל לומר שפונקצית סינוס: ברביע ראשון חיובית (מעל ציר $x$), לכן, הזוויות שלה בתחום $0^{\circ }<x<{\frac {\pi }{2}}$ , חיוביות. הזוית ${\frac {\pi }{2}}$ היא נקודת קיצון. ברביע שני, הפונקציה ממשיכה להיות חיוביות גם אחרי ${\frac {\pi }{2}}$, כיון שציר ה- $y$ עדין חיובי. כאשר אנו מתחילים להתקדם אחרי הזווית $\pi =180^{\circ }$ אל עבר רביע שלישי, ציר ה- $y$ (של מעגל היחידה) הופך להיות שלילי ולכן, גרף הפונקציה יורד אל מתחת לציר ה- $x$ . שוב, הגרף חיובי (מעל ציר $x$) כאשר אנו משלמים סיבוב ($k=1$). פונקציה מחזורית עתה מתחילים סיבוב חדש ($k=2$) לו ערכי נקודות זהה לכל מוקד, $sinx=sin(x+2k)$. הזווית אפס תהיה זהה בגודלה בסיבוב השני וכן הלאה. על כן שרטוטה של פונקציה הסינוס חוזר על עצמו דהינו מחזורי. לסיכום, ארבע מוקדים מרכזים לפונקצית הסינוס, הזוויות $\pi$ , ${\frac {\pi }{2}}$ , ${\frac {3}{2}}$ ו- $2\pi$ . שני מוקדים ($\pi ,2\pi$) שמחלקים את מעגל היחידה לתחום חיובי שלילי וכך, בהתאם לגרף. שני מוקדים (${\frac {\pi }{2}}$ , ${\frac {3}{2}}$) המהוויים נקודת קיצון, בהתאם למיקום בציר (מעל או מתחת לנקודת אפס). ארבעת המרכזים של נקודת הסינוס פונקציה אי-זוגית הנושא חשוב, על אף שאפשר לסכמו על-פי כותרו. פוקצית הסינוס היא פונקציה אי-זוגית, כפי שניתן לראות במעגל היחידה בשני הרבעונים הראשונים, $sin(-x)=-sin(x)$ פונקציה אי זוגית (פונקציה סימטרית ביחס לראשית הצירים), היא פונקציה בעלת נקודות עם ערכים נגדים , כלומר עבור כל נקודה $(x,y)$ , קיימת נקודה נוספת (על הפונקציה) השווה לה $(-x,-y)$ . במשוואה: $f(-x)=-f(x)$ . התכונה נובעת מכך שערכי הזוויות במחצית העליון של מעגל היחידה, שווים בהתאמה לערכי הזוויות במחצית השניה, כפי שראינו $\sin({\frac {\pi }{2}})=\sin({\frac {3\pi }{2}})=1$ . הפרקים הבאים הפרקים הבאים ידונו על שאר הפונקציות הטריגונומטריות הנלמדות. כאשר נגדיר את ההסברים הנ"ל בהתאם לפונקצית. אם הנכם סבורים שאתם מבינים את הנושא, אין צורך לקרוא את האמור, עם זאת, שמו לב לפרק התרגול בפונקצית הקוסינוס. הערות שוליים

פונקצית קוסינוס