על אף שיש בידינו את רשימת הזהויות , רובנו נמצא עצמנו משותקים מול תרגילים עם זהויות, מסיבה פשוטה - אין בידינו כלי פשוט לפתרון שאלות בנושא זהויות, שאלות הוכחה. בדרך-כלל, אנו לומדים כלים באמצעות פתירת שאלות, אולם, מה קורה כאשר אנו נתקלים בתרגיל ולא יודעים לפתור אותו? לרוב, בשלב מסוים נכנעים ומדלגים את הנושא. לכן, בפרק זה נציג כלים שונים לפתירת תרגילי הוכחה שבבסיסם אינם קשים.
עד כמה שזה "ברור", לא לכולם ברור (ואם ברור אז איך?) ולכן, נציג במפורש איך להציב פונקציה בזהות. רשימת הזהויות מציגה בפנינו הצבה של פונקציה טריגונומטרית כאשר הזוית היא זוית
α
{\displaystyle \alpha }
sin
(
90
∘
−
x
)
{\displaystyle \sin(90^{\circ }-x)}
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(x)}
sin
(
α
)
=
sin
(
180
∘
−
α
)
{\displaystyle \sin(\alpha )=\sin(180^{\circ }-\alpha )}
אלפא זו הזוית בזהות , איקס זהו הזוית אותה אנו רוצים למצוא ):
sin
(
90
∘
−
x
)
⏟
α
sin
(
α
)
=
sin
(
180
∘
−
α
)
sin
(
x
)
=
sin
(
180
∘
−
(
90
∘
−
x
)
⏟
α
)
sin
(
x
)
=
sin
(
180
∘
−
90
∘
+
x
)
sin
(
x
)
=
sin
(
90
∘
+
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin \underbrace {(90^{\circ }-x)} _{\alpha }\\&\color {blue}\sin(\alpha )=\sin(180^{\circ }-\alpha )\\&\sin(x)=\sin {\bigl (}180^{\circ }-\underbrace {(90^{\circ }-x)} _{\alpha }{\bigr )}\\&\sin(x)=\sin(180^{\circ }-90^{\circ }+x)\\&\sin(x)=\sin(90^{\circ }+x)\\\end{aligned}}}
דוגמה 1: הצבה בתוך זהות
מכאן שעבור הזהות:
sin
(
2
α
)
=
2
sin
(
α
)
⋅
cos
(
α
)
{\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha )}
זהות סכום זויות/מחצית זוית )
sin
(
2
α
)
=
2
sin
(
α
)
⋅
cos
(
α
)
sin
(
4
α
)
=
2
sin
(
2
α
)
⋅
cos
(
2
α
)
sin
(
6
α
)
=
2
sin
(
3
α
)
⋅
cos
(
3
α
)
sin
(
α
2
)
=
2
sin
(
α
4
)
⋅
cos
(
α
4
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha )\\&\sin(4\alpha )=2\sin(2\alpha )\cdot \cos(2\alpha )\\&\sin(6\alpha )=2\sin(3\alpha )\cdot \cos(3\alpha )\\&\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)=2\sin \left({\frac {\alpha }{4}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\alpha }{4}}\right)\\\end{aligned}}}
דוגמה 2: הצבה בתוך זהות
עבור הזהות:
cos
(
2
α
)
=
c
o
s
2
(
α
)
−
s
i
n
2
(
α
)
{\displaystyle \cos(2\alpha )=cos^{2}(\alpha )-sin^{2}(\alpha )}
cos
(
2
α
)
=
cos
2
(
α
)
−
sin
2
(
α
)
cos
(
4
α
)
=
cos
2
(
2
α
)
−
sin
2
(
2
α
)
cos
(
6
α
)
=
cos
2
(
3
α
)
−
sin
2
(
3
α
)
cos
(
α
)
=
cos
2
(
α
2
)
−
sin
2
(
α
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\cos(2\alpha )=\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\alpha )\\&\cos(4\alpha )=\cos ^{2}(2\alpha )-\sin ^{2}(2\alpha )\\&\cos(6\alpha )=\cos ^{2}(3\alpha )-\sin ^{2}(3\alpha )\\&\cos(\alpha )=\cos ^{2}\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)-\sin ^{2}\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\\\end{aligned}}}
כדי לפשט עלינו לשאול לאיזה מצב אנו רוצים להגיע? איזו זהות?
תמיד נעדיף פישוט ופיתוח של צד אחד במשוואה (בכדי שנוכל לשאוף ולהגיע לצידו השני של המשוואה) מאשר פיתוח של שני צדי המשוואה או העברת אגפים.
עריכה
לעיתים כאשר מדובר בערבוב של פונקציות
s
i
n
,
t
a
n
,
c
o
s
{\displaystyle sin,tan,cos}
דוגמה 1: הצבת זהות בהוכחה
1
−
s
i
n
2
α
t
a
n
2
α
=
c
o
s
2
α
∗
t
a
n
2
α
t
a
n
2
=
s
i
n
2
α
c
o
s
2
α
1
−
s
i
n
2
α
s
i
n
2
α
c
o
s
2
α
=
c
o
s
2
α
∗
s
i
n
2
α
c
o
s
2
α
1
−
c
o
s
2
α
=
s
i
n
2
α
c
o
s
2
α
=
1
−
s
i
n
2
α
s
i
n
2
α
=
s
i
n
2
α
{\displaystyle {\begin{aligned}&1-{\frac {sin^{2}\alpha }{tan^{2}\alpha }}=cos^{2}\alpha *tan^{2}\alpha \\&&tan^{2}={\frac {sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }}\\&1-{\frac {sin^{2}\alpha }{\frac {sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }}}=cos^{2}\alpha *{\frac {sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }}\\&1-cos^{2}\alpha =sin^{2}\alpha \\&&cos^{2}\alpha =1-sin^{2}\alpha \\&sin^{2}\alpha =sin^{2}\alpha \end{aligned}}}
ניתן להכפיל ולצמצם אגפים בעת הוכחת זהות (רק כאשר הביטוי שונה מאפס ).
דוגמה 1: הכפלת אגפים
c
o
s
α
1
−
s
i
n
α
=
1
+
s
i
n
α
c
o
s
α
c
o
s
α
1
−
s
i
n
α
/
∗
c
o
s
α
c
o
s
α
∗
c
o
s
α
1
−
s
i
n
α
∗
c
o
s
α
c
o
s
2
α
=
1
−
s
i
n
2
1
−
s
i
n
2
α
c
o
s
α
(
1
−
s
i
n
α
c
o
s
α
1
−
s
i
n
α
=
1
+
s
i
n
α
c
o
s
α
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {cos\alpha }{1-sin\alpha }}={\frac {1+sin\alpha }{cos\alpha }}\\&{\frac {cos\alpha }{1-sin\alpha }}/*cos\alpha \\&{\frac {cos\alpha *cos\alpha }{1-sin\alpha *cos\alpha }}\\&&cos^{2}\alpha =1-sin^{2}\\&{\frac {1-sin^{2}\alpha }{cos\alpha (1-sin\alpha }}&{\frac {cos\alpha }{1-sin\alpha }}={\frac {1+sin\alpha }{cos\alpha }}\end{aligned}}}
דוגמה 1: כפל מקוצר
s
i
n
4
α
−
c
o
s
4
α
=
s
i
n
2
α
−
c
o
s
2
α
a
2
−
b
2
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
(
s
i
n
2
α
−
c
o
s
2
α
)
(
s
i
n
2
α
+
c
o
s
2
α
)
s
i
n
2
α
+
c
o
s
2
α
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&sin^{4}\alpha -cos^{4}\alpha =sin^{2}\alpha -cos^{2}\alpha \\&&a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\\&(sin^{2}\alpha -cos^{2}\alpha )(sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha )\\&&sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1\\\end{aligned}}}
כאשר אנו רואים בזהות מכנה נעזר או בזהויות עם מכנים או בהכפלת האגף.
נעדיף להשתמש בזהויות עם אותו גודל זווית. לדוגמה, אם יש לנו
sin
(
2
x
)
+
sin
(
4
x
)
{\displaystyle \sin(2x)+\sin(4x)}
sin
(
2
x
)
,
sin
(
4
x
)
,
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(2x),\sin(4x),\sin(x)}
אותו מספר חזקה - פרט למקרים בהם אפשר להוציא גורם משותף וכדומה. מקרים בהם צריך למצוא את ערכה של זהות באמצעותה של זהות אחרת נעזר בזהויות :
זהות
cos
2
(
α
)
+
sin
2
(
α
)
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}(\alpha )+\sin ^{2}(\alpha )=1}
cos
{\displaystyle \cos }
sin
(
α
)
=
3
5
{\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {3}{5}}}
זהות מעבר, בדרך כלל כאשר בתרגיל יש שתי פונקציות שונות, בחזקות שונות., למשל,
sin
2
(
x
)
+
sin
(
x
)
⋅
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
x
)
{\displaystyle \sin ^{2}(x)+\sin(x)\cdot \cos(x)-2\cos ^{2}(x)}
