פיזיקה תיכונית/מכניקה/דינמיקה/תנועה מעגלית

דנו כבר בתנועה מעגלית מבחינה קינמטית כאן עכשיו נסביר גם מבחינה דינאמית.

ראינו שצריך שתהיה תאוצה שמכוונת תמיד למרכז המעגל כדי שתהיה תנועה מעגלית, אנו יודעים ע"פ החוק השני של ניוטון שלצורך תאוצה בכיוון מסוים צריך שיפעל כוח בכיוון הזה, ולכן בתנועה מעגלית יש כוח שמכוון למרכז המעגל ע"פ השוויון: $\sum {\vec {F}}=m{\vec {a}}$

ולכן משוואות התנועה המעגלית יכולות להיכתב כך: $\sum {\vec {F}}=m{\vec {a_{r}}}=m{\frac {v^{2}}{r}}=m{\frac {4\pi ^{2}r}{T^{2}}}=m4\pi ^{2}f^{2}r=m\omega ^{2}r$

הוכחה

יהי גוף הנע בתנועה מעגלית שרדיוסה $r$ . הגוף נמצא במנוחה כאשר מיקומו $(0,r)$ . לגוף ניתנת מהירות $v$ למשך זמן $dt$ כאשר $\lim _{dt\to 0}$ . מכאן שבכיוון $x$ יעבור הגוף מרחק של $v\cdot dt$ ובכיוון $y$ מרחק ${\frac {at^{2}}{2}}$ , לכן המרחק הסגול יהיה $R-{\frac {at^{2}}{2}}$ . כמו כן המרחק האפור הנו $r$ . לכן, לפי משפט פיתגורס $r^{2}=(v\cdot dt)^{2}+\left(R-{\frac {at^{2}}{2}}\right)^{2}$ . מכאן יתבצע הפיתוח:

$v^{2}dt^{2}+r^{2}-ar(dt)^{2}+{\frac {a^{2}}{4}}(dt)^{2}=R^{2}$

$v^{2}-ar+{\frac {a^{2}}{4}}(dt)^{2}=0$

$\left(\lim _{dt\to 0}\right)v^{2}-ar=0$

$a={\frac {v^{2}}{r}}$

${\vec {F}}=m{\vec {a}}=m{\frac {v^{2}}{r}}$

ולהלן הנוסחא

הפרק הקודם:	תנועה מעגלית	הפרק הבא:
מישור משופע	תרגילים	ריבוי גופים