תורת הבקרה/קריטריון ראוט

כזכור, יציבות של מערכת תלויה במיקום קטבי פונקצית התמסורת בחוג פתוח G_OL, נסמן תמסורת חוג סגור וחוג פתוח בהתאמה: $\ G_{OL}={GH},G_{CL}={G \over {1+GH}}$. לרוב, מציאת שורשי הפולינום האופייני יהיו טרחה רבה. כאן נכנס לתמונה קריטריון ראוט ליציבות, אשר דורש לדעת רק את מקדמי הפולינום האופייני (הפולינום האופייני הוא המכנה של G_CL).

קריטריון ראוט נקרא לעתים גם קריטריון ראוט-הורוביץ.

הקריטריון

נכתוב את הפולינום האופייני בצורה:

$\ a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_{1}s+a_{0}$

(ניתן לצמצם את כל המשואה במקדם של sⁿ מכיוון שאינו משפיע על התוצאה, ואז a_n=1)

• שלב א: אם קיים לפחות מקדם אחד $\ a_{i},\ i=1..n$ שלילי או שווה ל-0 אז למערכת יש קוטב בחצי המישור הימני או על הציר המדומה ולכן המערכת אינה יציבה או בגבול היציבות. שימו לב כי זהו תנאי הכרחי אך לא מספיק ולכן במידת הצורך יש להמשיך לשלב הבא.
• שלב ב: רושמים את מקדמי הפולינום האופייני בשתי השורות הראשונות בטבלה באופן הבא:

$\ {\begin{matrix}{\underline {s^{n}}}:&a_{n}&a_{n-2}&a_{n-4}&\cdots \\{\underline {s^{n-1}}}:&a_{n-1}&a_{n-3}&a_{n-5}&\cdots \\{\underline {s^{n-2}}}:&b_{1}&b_{2}&b_{3}&\cdots \\{\underline {s^{n-3}}}:&c_{1}&c_{2}&c_{3}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\cdots \\{\underline {s^{1}}}:&.&.&.&\cdots \\{\underline {s^{0}}}:&.&.&.&\cdots \end{matrix}}$

• אם מעלת הפולינום היא זוגית, השורה הראשונה תכיל את כל המקדמים הזוגיים והשורה השנייה את כל המקדמים האי-זוגיים.
• אם מעלת הפולינום היא אי-זוגית, השורה הראשונה תכיל את כל המקדמים האי-זוגיים והשורה השנייה את כל המקדמים הזוגיים.
• את שאר המקדמים מחשבים באמצעות כלל המזכיר את חוקיות הדטרמיננט (מחלקים תמיד באיבר שבעמודה הראשונה, וכל שורה תלויה בשתי השורות שלפניה):

• $\ b_{1}={\frac {a_{n-1}a_{n-2}-a_{n}a_{n-3}}{a_{n-1}}}=a_{n-2}-a_{n}{a_{n-3} \over a_{n-1}}$
• $\ b_{2}=a_{n-4}-a_{n}{a_{n-5} \over a_{n-1}}$
• $\ c_{1}=a_{n-3}-b_{2}{a_{n-1} \over b_{1}}$
• $\ c_{2}=a_{n-5}-b_{3}{a_{n-1} \over b_{1}}$

(ניתן לחלק שורת ראוט במספר חיובי מבלי לשנות את התוצאה)

• ממשיכים לחשב איברים עד אשר מופיעה שורה עם אפסים בלבד (זה יקרה בשורה ה-n+1). העמודה הראשונה (השמאלית) נקראת עמודת ראוט ומספר השורשים בחצי המישור הימני שווה למספר החלפות הסימן בעמודת ראוט. כלומר המערכת יציבה אם כל איברי עמודת ראוט הינם באותו סימן.

דוגמאות

(להשלים)

כדאי לדעת: הערכים הקיצוניים של ההגבר הם נקודות החיתוך של עקום Root-Locus עם הציר המדומה, ושל עקום נייקוויסט עם הציר הממשי.

מקרים מיוחדים

אפס בעמודת ראוט

• דרך א: במקרה זה מציבים ε>0 במקום אפס ומשאיפים בסוף לאפס.
• דרך ב: כופלים את המשוואה האופיינית בגורם מהצורה (s+a) כאשר a>0 (לרוב a=1 יהיה טוב) ומוצאים את עמודת ראוט. מאחר והגורם הנוסף מוסיף קוטב ב-OLHP, כל שורש ב-ORHP מקורו בפונקציה המקורית. שימו לב: יש לוודא שלא קיים כבר במשוואה גורם מהצורה (s-a), אחרת חישוב היציבות יופרע.

דוגמאות

(להשלים)

שורת אפסים בטבלה

מצב זה מתרחש כאשר קיימים שני שורשים ממשיים נגדיים או כאשר קיים זוג שורשים מרוכבים-צמודים (לרוב מדומה טהור). המערכת כמובן לא יציבה. במקרה זה בונים פולינום עזר אשר מקדמיו הם ערכי השורה שמעל שורת האפסים בטבלה, והשורה מעל שורת האפסים גם תכתיב את מעלת הפולינום. נשים לב שהמקדמים אנחנו לוקחים מהשורה הזו הם עבור המעלות הזוגיות בפולינום, כאשר מקדמי המעלות האי-זוגיות הם אפס. את פולינום העזר שהתקבל גוזרים, ואת שורת האפסים מחליפים במקדמים החדשים שלאחר הגזירה. ממשיכים בחישוב עמודת ראוט כרגיל.

דוגמאות

(להשלים)

יציבות יחסית

לעתים יש לדעת עד כמה קרובים הקטבים לאי-יציבות, וניתן לעשות זאת ללא מציאת הקטבים על ידי קריטריון ראוט. היציבות נמדדת יחסית לציר $\ s=-\beta ,\ \beta \geq 0$ ולכן נקראת יציבות יחסית. למעשה מתבצעת טרנספורמציה לינארית של המשתנה s, כך ש: $\ s=s'-\beta$. כלומר כל מה שיש לעשות זה להציב בטבלה את ההזזה הנ"ל ולפתור כרגיל.

בדרך זו ניתן גם לבדוק (תוך מיספר איטרציות) בין אילו שתי קוארדינטות נמצאים הקטבים (אם בכלל): אם המערכת יציבה יחסית ל-0 אך אינה יציבה יחסית ל-β אז מספר החלפות הסימן בעמודת ראוט הוא מספר הקטבים בתחום [0,β].

דוגמאות

(להשלים)

ראו גם

• קריטריון הורוביץ

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: קריטריון ראוט-הורוביץ (אנגלית)