תורת הבקרה/קריטריון נייקוויסט

קריטריון נייקוויסט הינו מבחן פשוט יחסית ליציבות של מערכת בקרה בחוג סגור. באמצעות התבוננות בעקום הנייקוויסט של החוג הפתוח, ניתן לקבוע תנאים ליציבות החוג הסגור. קריטריון נייקוויסט לא מצריך ידיעת הקטבים של תמסורת החוג הסגור לשם קביעת היציבות.

משרטטים עקום נייקוויסט עבור התמסורת GH.

בשיטה זו משרטטים את העקום המתקבל על ידי העתקת הציר המדומה (s=jω) על ידי פונקצית התמסורת (כלומר העתקה למישור GH) של החוג הפתוח של המערכת. בדומה לעקום בודה, עקום נייקוויטס מציג את תגובת התדר של המערכת כתלות בתדר, אך בניגוד לעקום בודה, כאן ההצגה היא על גבי גרף בודד.

שאלת היציבות על פי נייקוויטס היא: מתי כל האפסים של המשוואה האופיינית (1+KGH) נמצאים ב-OLHP?

GH הינה תמסורת החוג הפתוח; 1+KGH היא המשוואה האופיינית וגם המכנה של תמסורת החוג הסגור.

תזכורת: משפט קושי (עקרון הארגומנט)

על עקום סגור אשר מקיף נקודות שאינן אנליטיות (אך שלא עובר דרכן), ניתן לבצע העתקה כזו שבה תמונת העקום תקיף את הראשית (של המישור החדש) z-p פעמים, כאשר z הוא מספרי אפסי הפונקציה, ו-p הוא מספר קטבי הפונקציה. פונקצית ההעתקה היא במקרה שלנו פונקצית התמסורת, והמישור החדש הוא מישור התמסורת.

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: עקרון הארגומנט

קריטריון נייקוויסט

נקיף את חצי המישור הימני באמצעות חצי מעגל אינסופי המוגדר ע"י המסלול Γ הבא:

• קו ישר העובר לאורך כל הציר המדומה:

  $\ s=j\omega ,\ 0<\omega <\infty$

• חצי מעגל אינסופי בחצי המישור הימני:

  $\ s=Re^{j\theta },\quad -{\pi \over 2}<\theta <{\pi \over 2},\ R\to \infty$

העתקת עקום זה ממישור s למישור GH היא עקום נייקוויסט.

מעקרון הארגומנט נובע כי מספר ההקפות של עקום נייקוויסט של GH סביב הנקודה $\ -{1 \over K}$, עם כיוון השעון, שווה להפרש בין מספר האפסים לבין מספר הקטבים:

$\ N=N_{z}-N_{p}$

מערכת בחוג סגור הינה יציבה אסימפטוטית אם-ורק-אם כל אפסי המשוואה האופיינית 1+KGH נמצאים בחצי המישור השמאלי (OLHP).

כאשר:

• N הוא מספר ההקפות של עקום נייקוויסט (במישור GH) סביב הנקודה $\ -{1 \over K}$ ובכיוון השעון.
• N_p הוא מספר הקטבים של GH ב-ORHP.
• N_z הוא מספר האפסים של המשוואה האופיינית (1+KGH) ב-ORHP, והם הקטבים של החוג הסגור, כי $\ G_{CL}={KG \over 1+KGH}$.

לכן, לשם יציבות החוג הסגור, נחפש תחום כזה עבור K, שיקיים $\ N_{z}=0\ \Rightarrow \ N=N_{p}$.
כלומר: מספר ההקפות שווה למספר הקטבים ב-ORHP של החוג הפתוח.

כדאי לדעת: כידוע, אנליזת היציבות מתבצעת על הפונקציה האופיינית 1+KGH. אם כן, ניתן לשרטט את העתקת הפונקציה 1+KGH ולספור הקפות סביב הראשית. לחילופין, ניתן היה לספור את ההקפות של KGH סביב הנקודה $\ -1$, אבל אז עבור כל K היינו צריכים לשרטט עקום חדש. כאן מתוארת ההעתקה GH וספירת הקפותיה סביב הנקודה $\ -{1 \over K}$. ניתן להשתמש בכל אחת משלוש השיטות.

באופן עקרוני, יש לשרטט עקום נייקוויסט כאשר המערכת מותמרת למערכת-משוב-יחידה, אך מבחינת יציבות, $\ {\bar {G}},\ GH$ הן זהות ולכן ניתן לבצע את האנליזה ישירות על GH ללא התמרה.

כדאי לדעת: אם המערכת היא במשוב חיובי, נבדוק הקפות סביב אותן נקודות, אך בחצי המישור הימני, כלומר סביב 1 או סביב $\ 1 \over K$, בהתאם לבעיה.

אבחנות

1. פונקצית תמסורת הינה רציונלית, ולפולינומים מקדמים ממשיים (שורשים מרוכבים יבואו בזוגות של צמודים) ולכן עקום נייקוויסט הינו סימטרי ביחס לציר הממשי. כלומר: $\ GH(-j\omega )=GH^{*}(j\omega )$.
2. פונקצית תמסורת יציבה בחוג פתוח אם-ורק-אם $\ N_{p}=0\ \Rightarrow \ N=N_{z}=0$.
3. כאשר עקום נייקוויסט עובר דרך הנקודה $-{1 \over K}$, המערכת נמצאת על סף יציבות (גם מערכת NMP עוברת דרך נקודה זו). אם מערכת היא על סף היציבות, אז לתמסורת החוג הסגור יש קוטב בראשית.
4. נביט בתגובת המערכת בתדירות גבוהה:

   $\ \lim _{\omega \to \infty }\left|K{\frac {(s+z_{1})\cdots (s+z_{m})}{(s+p_{1})\cdots (s+p_{n})}}\right|_{s=j\omega }={K \over \omega ^{n-m}}$

5. האסימפטוטה של תדר גבוה נקבעת לפי עקרון דומה:

   $\ \arg GH|_{\omega \to \infty }=\arg {1 \over j^{n-m}}$

6. בהנתן מערכת מינימום פאזה (MP) מסוג k:

   $\ GH(s)={N(s) \over s^{k}D(s)}$, מתקבל:

   $\ \arg GH(j\omega )|_{\omega \to 0^{+}}=-k{\pi \over 2}$.

   אם המערכת היא NMP, הסימן שלפני k תלוי במספר האפסים ב-ORHP.

שלבי ביצוע

1. עקום נייקוויסט הוא העתקת המסלול Γ על ידי תמסורת החוג הפתוח - GH. כלומר עבור הציר המדומה מחשבים $\ GH(\pm j\omega )$ ועבור חצי המעגל יתקבל קבוע.
   1. אם GH היא Strictly-proper אז חצי המעגל האינסופי יועתק על ידי GH לנקודת הראשית של מישור GH. נשאר רק לבדוק מאיזה רביע העקום מגיע לראשית. מאחר וניתן לייצג את GH על ידי סכום של חלק ממשי וחלק מדומה - $\ GH(j\omega )=A+jB$ - הרי שעל ידי הצבת $\omega =\infty$ נידע דרך איזה רביע עקום נייקוויטס מגיע לראשית (אם למשל התקבל $\ 0^{-}+j0^{+}$, אז עקום נייקוויסט מגיע לראשית מן הרביע השני).
   2. אם GH היא Proper אז חצי המעגל האינסופי יועתק לנקודה כלשהי שאינה הראשית. יש לחשב $\ GH(j\omega )|_{\omega \to \infty }$ כדי לקבל את העתקת חצי המעגל האינסופי, בדומה לסעיף הקודם.
   3. לכן: יש לבדוק רק את העתקת הציר המדומה למישור GH.
2. יש לחשב את ההעתקה של ארבע נקודות חשובות:
   • ω=0, שם העקום מתחיל. אם למערכת אינטגרטור בראשית, יש לחשב את ההעתקה של מעגל אינפיניטסימלי.
   • ω=∞, שם העקום מסתיים.
   • חיתוך עם הציר הממשי: $\ {\mbox{Im}}(GH)=B=0$. את התדירויות שהתקבלו יש להציב ב-GH על מנת לקבל את ההעתקה שלהן במישור נייקוויסט.

     במידה ויש מספר נקודות חיתוך עם הציר הממשי, על מנת לקבוע את כיוון העקום יש לבחור בתדירות ביניים (הנמצאת בין שתי התדירויות של נקודות החיתוך) ולחשב את הסימן של B עבורה. כיוון העקום הוא עם גדילת התדירות.

   • חיתוך עם הציר המדומה: $\ {\mbox{Re}}(GH)=A=0$, בדומה לסעיף הקודם.

     את הנקודות יש לחבר בעקום שמגמתו גדילת התדירות.

3. לבסוף, על מנת לקבל עקום רציף, יש להכליל ערכים שליליים של התדירות. במידה ויש אינטגרטור בראשית, יופיעו בעקום ענפים ש"יברחו" לאינסוף. במקרה זה יש לחבר את שני הענפים בקו "מלאכותי" (קו זה למעשה יחבר בין הנקודה בה $\ \omega \to 0^{-}$ לנקודה בה $\ \omega \to 0^{+}$). קו "מלאכותי" זה יש לצייר עם כיוון השעון ובמגמת גדילה של התדירות. שני העקומים הם למעשה צמודים קומפלקסיים ומהווים שיקוף אחד של השני יחסית לציר הממשי. על העקום המוגמר הזה מבצעים את בדיקת היציבות.
4. לשם קביעת מספר ההקפות סביב הנקודה $\ -{1 \over K}+0j$, מעבירים ממנה קרן לכיוון כלשהו. מחשבים את מספר החיתוכים באופן הבא:

   $\ N=N_{CW}-N_{CCW}$

   כאשר N הוא ההפרש בין מספר החיתוכים בכיוון השעון לבין מספר החיתוכים נגד כיוון השעון.

   

   כניסה דרך הקו האדום: +1, כניסה דרך הקו הכחול: -1.

כדאי לדעת: ערכו המוחלט של N תמיד יהיה 1 או 0. במידה והנקודה ממנה יוצאת הקרן נמצאת מחוץ לשטח הסגור על ידי עקום נייקוויסט, N יהיה 0 כי מספר החיתוכים הינו זוגי. אם הנקודה היא בתוך השטח, מספר החיתוכים הוא תמיד אי-זוגי.

כדאי לדעת: דרך נוספת: עקום נייקוויסט חותך את הציר הממשי בערכי ההגבר הקיצוניים המתקבלים מקריטריון ראוט: אם ההגבר הקיצוני הוא K, אז העקום יחתוך את הציר הממשי בנקודה $\ -{\tfrac {1}{K}}$.

מטלאב

אחרי שהגדרתם פונקצית תמסורת (נקרא לה G), יש לכתוב את הפקודה הבאה:

nyquist(G);

דוגמאות

מערכת מסוג 0

מערכת מסדר 1

מערכת מסוג 0, סדר 1

נניח כי נתונה מערכת משוב היחידה הבאה:

$\ G={1 \over s+1},\ H=1$

לכן:

$\ GH(j\omega )={\frac {1-j\omega }{1+\omega ^{2}}}$

יש קוטב בודד ב-OLHP, כלומר N_P=0 ולכן נרצה N=0.

נביט בערכי GH עבור תדירויות אופייניות:

• $\ {\underline {\omega \to 0^{+}}}:\ GH\to 1+j0^{-}$
• $\ {\underline {\omega \to \infty }}:\ GH\to 0+j0^{-}$
• $\ {\underline {\omega =1}}:\ GH={1 \over 2}-{j \over 2}$

בהתאם לנ"ל, נקבע את ערכי K שיתנו יציבות:

$\ -\infty <-{1 \over K}<0\quad \Rightarrow \quad 0<K<\infty$

כלומר המערכת יציבה לכל K חיובי.

מערכת מסדר 2

מערכת מסוג 0, סדר 2

נניח כי נתונה מערכת משוב היחידה הבאה:

$\ G={1 \over (s+1)^{2}},\ H=1$

לכן:

$\ GH(j\omega )={\frac {(1-\omega ^{2})-2j\omega }{(1+\omega ^{2})^{2}}}$

יש שני קטבים ב-OLHP, כלומר N_P=0 ולכן נרצה N=0.

נביט בערכי GH עבור תדירויות אופייניות:

• $\ {\underline {\omega \to 0^{+}}}:\ GH\to 1+j0^{-}$
• $\ {\underline {\omega \to \infty }}:\ GH\to 0^{-}+j0^{-}$
• $\ {\underline {\omega =1}}:\ GH=-{j \over 2}$

אם כן, לכל K>0, העקום לא מקיף ולו פעם אחת את הנקודה $\ -{1 \over K}$ (כי היא נמצאת בחצי המישור השמאלי), לכן המערכת יציבה לכל K חיובי.

מערכת מסדר 3

מערכת מסוג 0, סדר 3

נניח כי נתונה מערכת משוב היחידה הבאה:

$\ G={1 \over (s+1)^{3}},\ H=1$

לכן:

$\ GH(j\omega )={\frac {(1-3\omega ^{2})-j(3\omega -\omega ^{3})}{\omega ^{6}+3\omega ^{4}+3\omega ^{2}+1}}$

יש שלושה קטבים ב-OLHP, כלומר N_P=0 ולכן נרצה N=0.

נביט בערכי GH עבור תדירויות אופייניות:

• $\ {\underline {\omega \to 0^{+}}}:\ GH\to 1+j0^{-}$
• $\ {\underline {\omega \to \infty }}:\ GH\to 0^{-}+j0^{+}$
• $\ {\underline {\omega =1}}:\ GH=-{1 \over 4}-{j \over 4}$

חיתוך עם הציר הממשי:

$\ 3\omega -\omega ^{3}=0\quad \Rightarrow \quad \omega =0,{\sqrt {3}}$

ואז:

$\ GH(0)=1,\ GH({\sqrt {3}})=-0.125$

כלומר הדרישה על K היא:

$\ -\infty <-{1 \over K}<-0.125\ \Rightarrow \ 0<K<8$

מערכת מסוג 1

מערכת מסדר 3

מערכת מסוג 1, סדר 3. שימו לב כי מטלאב לא יודע להשלים את העקום לקבלת עקום רציף.

נניח כי נתונה מערכת משוב היחידה הבאה:

$\ G={1 \over s(s+1)^{2}},\ H=1$

לכן:

$\ GH(j\omega )=-{2 \over (1+\omega ^{2})^{2}}-j{1-\omega ^{2} \over \omega (1+\omega ^{2})^{2}}$

במקרה זה יש קוטב בראשית ולכן מסלול נייקוויסט לא יכול לעבור שם. נבנה חצי מעגל קטן סביב הראשית ונבצע את ההעתקה שלו (שימו לב כי הגדרת העקום משייכת את הקוטב ל-OLHP ולכן N=0):

$\ s=\epsilon e^{j\theta },\quad \epsilon \to 0,\ -{\tfrac {\pi }{2}}<\theta <{\tfrac {\pi }{2}}$

נביט בערכי GH עבור תדירויות אופייניות:

• $\ {\underline {\omega \to 0^{+}}}:\ GH\to -2-j\infty$
• $\ {\underline {\omega \to \infty }}:\ GH\to 0^{-}+j0^{+}$
• $\ {\underline {\omega =\pm 1}}:\ GH=-{1 \over 2}$
• העתקת המעגל הקטן:

  $\ GH(\epsilon e^{j\theta })\to {e^{-j\theta } \over \epsilon }\to \infty$

  כלומר המעגל הקטן מועתק לחצי מעגל ברדיוס אינסופי מ-π/2 עד -π/2 (בכיוון הטריגונומטרי ההפוך).

עבור ערכי K שעבורם אנו נמצאים בתוך הלולאה (K-ים גבוהים), המערכת אינה יציבה, ואילו עבור ערכי K שעבורם אנו נמצאים משמאל ללולאה (K-ים קטנים), המערכת יציבה. אם כן, על מנת למצוא את גבול היציבות יש למצוא ערך K גבולי שבו נימצא בנקודת החיתוך, הלא היא -0.5:

$\ -\infty <-{1 \over K}<-{1 \over 2}\quad \Rightarrow \quad 0<K<2$

נקבל תוצאה זהה על ידי שימוש בקריטריון ראוט.

מעבר בין עקום בודה לעקום נייקוויסט

(להשלים)

ראו גם

• עקום בודה
• קריטריון ניקולס
• קריטריון ראוט
• שיטת לוקוס השורשים

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: עקום נייקוויסט (אנגלית), קריטריון נייקוויסט (אנגלית)

תמונות ומדיה בוויקישיתוף: עקומי נייקוויסט

• הסבר ידידותי מאתר אוניברסיטת Bucknell.
• אוניברסיטת Dayton.