תורת הקבוצות/יחסים בין קבוצות

בפרק זה נגדיר כמה יחסים בין קבוצות: הכלה, הכלה ממש ושוויון. בפרק זה ובפרק הבא נעזר בשרטוטים המכונים "דיאגרמות ון" לשם המחשה.

קבוצה חלקית (הכלה)

הגדרה 1.1: קבוצה חלקית תהיינה $A,B$ קבוצות. נאמר כי $A$ היא קבוצה חלקית ל־$B$ אם כל $x$ הנמצא בקבוצה $A$ נמצא גם בקבוצה $B$ . כלומר: $\forall x:x\in A\Rightarrow x\in B$ נסמן $A$ חלקית ל־$B$ כך: $A\subseteq B$ . נאמר גם כי $A$ מוכלת ־$B$ ,‏ $A$ תת־קבוצה של $B$ ו־$B$ מכילה את $A$ .

במילים אחרות אם $A\subseteq B$ אז כל אבר ב־$A$ הוא אבר ב־$B$ , או $A$ היא חלק מ־$B$ . נדגיש כמה דברים המסתמנים מההגדרה. אם $A\subseteq B$ אז ידוע שאם אבר כלשהו הוא אבר ב־$A$ אז הוא גם אבר ב־$B$ , אך יש לשים לב שההפך אינו נכון, כלומר אם $A\subseteq B$ ואבר שייך ל־$B$ אז הוא לא בהכרח גם שייך ל־$A$ .

אם $A$ אינה חלקית ל־$B$ נסמן $A\not \subseteq B$ . שימו לב שמספיק למצוא אבר אחד ב־$A$ שאינו אבר ב־$B$ על־מנת להוכיח כי $A\not \subseteq B$ .

משפט 1.1: תהי $A$ קבוצה כלשהי . אזי $A\subseteq A$ . במילים אחרות: כל קבוצה חלקית לעצמה. הוכחה תהי $A$ קבוצה כלשהי. אם $x\in A$ , אז בוודאי $x\in A$ ועל כן $A\subseteq A$ , לפי הגדרת קבוצה חלקית.

שוויון קבוצות

הגדרה: שוויון קבוצות תהיינה $A,B$ קבוצות. נאמר כי $A$ שווה ל־$B$ אם לכל אבר $x$ מתקיים: $x\in A\iff x\in B$ .

ברור לנו לפי ההגדרה שאכן $A=A$ עבור כל קבוצה $A$ . בנוסף ניתן לראות שכדי להוכיח כי $A=B$ ניתן להראות שכל אבר של $A$ הוא אבר של $B$ ולהראות גם שכל אבר של $B$ הוא אבר של $A$ .

אנו למעשה צריכים להראות כי $A$ חלקית ל־$B$ וכן $B$ חלקית ל־$A$ . כדי להראות ששתי קבוצות אינן שוות, מספיק להצביע על אבר כלשהו השייך לאחת הקבוצות אך לא לשניה.

דוגמאות: הראינו בפרק הקודם כמה דוגמאות לקבוצות שוות. כעת נוכל לבחון על-פי ההגדרה המדויקת שאכן אלו קבוצות שוות.

• טענו שהקבוצה $\{1,2,3,4\}$ שווה לקבוצה {כל המספרים השלמים בין 0 ל־5}. נבחן אם כן את הטענה לפי ההגדרה. אנו רואים כי $1\in \{1,2,3,4\}$ וגם $2\in \{1,2,3,4\}$ וכך גם 3,4.

נבחן את {כל המספרים השלמים בין 0 ל־5 (הגדולים מ־0 וקטנים מ־5)} ולשם הנוחיות נסמן קבוצה זו $Q$ . נבחן את 1 ונראה ש־1 הוא אכן מספר שלם הגדול מ־0 וקטן מ־5, לכן $1\in Q$ .

נבדוק ונראה שגם $2,3,4\in Q$ . אז כל אבר ב־$\{1,2,3,4\}$ הוא גם אבר ב־$Q$ . נבדוק אילו הם האברים השלמים בין 0 ל־5 ונראה שאלו אך ורק 1,2,3,4 וכמובן $1,2,3,4\in \{1,2,3,4\}$ .

לפיכך כל האברים הנמצאים בקבוצה $\{1,2,3,4\}$ נמצאים גם בקבוצה {כל המספרים השלמים בין 0 ל־5}, ולהפך: כל האברים שנמצאים בקבוצה {כל המספרים השלמים בין 0 ל־5} נמצאים גם בקבוצה $\{1,2,3,4\}$ .

לפי ההגדרה הקבוצות אכן שוות כמו ששיערנו בהתחלה.

• כעת נבחן את הטענה הבאה שהוצגה אף היא בפרק הקודם: {כל המספרים השלמים בין 0 ל־1} = {כל החזירים בעלי הכנפיים}.

לפי הגדרת שוויון קבוצות ניתן לראות שאכן קבוצות אלו שוות שכן אין בהן כל אבר אז ודאי שכל אבר בקבוצה אחת הוא אבר בקבוצה השניה (מאותה סיבה קבוצות אלו שוות לקבוצה הריקה $\varnothing$).

למעשה במקרה זה הטענה "אם אבר שייך לקבוצה הראשונה אז הוא שייך לקבוצה השניה" נכונה תמיד משום שהחלק הראשון בטענה (אם...) לעולם לא מתקיים.

על טענות מסוג $A\Rightarrow B$ כאשר $A$ לעולם לא מתקיים נהוג לומר שהן מתקיימות "באופן ריק".

משפט 1.2: תהיינה $A,B$ קבוצות. אזי $A=B$ אם ורק אם $A\subseteq B\land B\subseteq A$ . במילים אחרות, על־מנת להוכיח שוויון בין קבוצות, מספיק להוכיח שכל אחת מהקבוצות מוכלת באחרת. הוכחה המשפט נובע ישירות מהגדרות השוויון וההכלה. אם $A=B$ אז לכל $x\in A$ מתקיים $x\in B$ , כלומר $A\subseteq B$ , ובאותו אופן גם $B\subseteq A$ . מצד שני, אם $A\subseteq B$ וגם $B\subseteq A$ , אז לכל $x\in A$ מתקיים $x\in B$ ולהפך, ולכן $A=B$ .

הכלה ממש

הגדרה 1.2: הכלה ממש תהיינה $A,B$ קבוצות. נאמר כי $A$ חלקית ממש ל־$B$ אם $A\subseteq B$ וגם $A\neq B$ . נסמן $A\subset B$ . נאמר גם $A$ מוכלת ממש ב־$B$ , או $B$ מכילה ממש את $A$ .

דיאגרמת ון: $A\subset B$

שימו לב שפירוש הדבר הוא שאם $A\subset B$ אז בהכרח $B\not \subseteq A$ . כלומר אם נרצה להראות כי $A\subset B$ נראה שכל אבר ב־$A$ הוא אבר ב־$B$ אך קיים אבר אחד לפחות ב־$B$ שאינו אבר ב־$A$ .

כמובן שגם כאן נוכל לדבר על שתי קבוצות כך ש־$B$ אינה מכילה ממש את $A$ . נסמן $A\not \subset B$ . מהגדרת קבוצה חלקית ממש מסתמן שקבוצה $A$ אינה חלקית ממש ל־$B$ אם ורק אם $A\not \subseteq B$ או $A\neq B$ .

משפט 1.3: עבור כל קבוצה $A$ מתקיים $\varnothing \subseteq A$ , ועבור כל קבוצה $B$ כך ש־$B\neq \varnothing$ מתקיים $\varnothing \subset B$ . במילים: כל קבוצה מכילה את הקבוצה הריקה, וכל קבוצה שאינה הקבוצה הריקה מכילה ממש את הקבוצה הריקה. הוכחה תהי $A$ קבוצה כלשהי. נניח בשלילה כי $\varnothing \not \subseteq A$ אז קיים אבר כלשהו ב־$\varnothing$ שאינו אבר ב־$A$ . אך זה עומד בסתירה להגדרת $\varnothing$ כקבוצה ללא אברים, לכן לא יתכן כי $\varnothing \not \subseteq A$ שכן זה יוצר סתירה, אז אנו מסיקים שבהכרח עבור כל קבוצה $A$ מתקיים $\varnothing \subseteq A$ . תהי $B\neq \varnothing$ קבוצה. הראינו קודם כי $\varnothing \subseteq B$ . לפי הגדרת $\varnothing$ אנו מסיקים כי ל־$B$ אבר כלשהו שאינו אבר ב־$\varnothing$ , אז $B\not \subseteq \varnothing$ , ולכן בוודאי $\varnothing \neq B$ . לפי הגדרת קבוצה חלקית ממש אם $\varnothing \subseteq B$ וגם $B\neq \varnothing$ אז $\varnothing \subset B$ .

ההבדל בין שייכות והכלה

נשים לב שקיים הבדל משמעותי בין שייכות של אבר לקבוצה, ובין הכלה של קבוצה בקבוצה אחרת. נביט למשל על הקבוצה שהבאנו בדוגמא בפרק הקודם: $A={\big \{}1,2,\{3,4\}{\big \}}$ .

כפי שאמרנו, קבוצה זו מכילה שלושה אברים – המספרים 1,2 והקבוצה $\{3,4\}$ . המספר 3 למשל אינו אבר ב־$A$ (הוא אבר בקבוצה שהיא אבר ב־$A$). לכן מתקיים $\{3,4\}\in A$ אך לא מתקיים $\{3,4\}\subseteq A$ (כלומר $\{3,4\}\not \subseteq A$), משום שהאברים בקבוצה $\{3,4\}$ אינם אברים ב־$A$ .

כמובן, יתכן מצב שקבוצה גם תהיה מוכלת בקבוצה אחרת, וגם תהיה אבר בה. למשל, נגדיר את הקבוצה $A={\big \{}1,\{1\}{\big \}}$ . קל לראות כי $\{1\}\in A$ וגם $\{1\}\subseteq A$ .

הפרק הקודם: מושג הקבוצה

יחסים בין קבוצות

הפרק הבא: פעולות על קבוצות