עריכה
א. יחס השוויון (=) על כל קבוצה
A
{\displaystyle A}
לכל
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
a
=
a
{\displaystyle a=a}
לכל
a
,
b
∈
A
{\displaystyle a,b\in A}
a
=
b
{\displaystyle a=b}
b
=
a
{\displaystyle b=a}
לכל
a
,
b
,
c
∈
A
{\displaystyle a,b,c\in A}
a
=
b
{\displaystyle a=b}
b
=
c
{\displaystyle b=c}
a
=
c
{\displaystyle a=c}
יחס השוויון על הקבוצה
A
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle A=\{1,2,3\}}
{
(
1
,
1
)
,
(
2
,
2
)
,
(
3
,
3
)
}
{\displaystyle {\bigl \{}(1,1),(2,2),(3,3){\bigr \}}}
ב. תהי
A
{\displaystyle A}
≅
{\displaystyle \cong }
A
{\displaystyle A}
לכל
X
,
Y
∈
A
{\displaystyle X,Y\in A}
X
≅
Y
{\displaystyle X\cong Y}
בייקציה (פונקציה חד-חד ערכית ועל)
f
:
A
→
B
{\displaystyle f:A\to B}
היחס
≅
{\displaystyle \cong }
לכל קבוצה
X
∈
A
{\displaystyle X\in A}
f
(
a
)
=
a
{\displaystyle f(a)=a}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
X
≅
X
{\displaystyle X\cong X}
לכל
X
,
Y
∈
A
{\displaystyle X,Y\in A}
X
≅
Y
{\displaystyle X\cong {}Y}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
f
−
1
:
Y
→
X
{\displaystyle f^{-1}:Y\to X}
Y
≅
X
{\displaystyle Y\cong X}
לכל
X
,
Y
,
Z
∈
A
{\displaystyle X,Y,Z\in A}
X
≅
Y
{\displaystyle X\cong Y}
Y
≅
Z
{\displaystyle Y\cong Z}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
g
:
Y
→
Z
{\displaystyle g:Y\to Z}
g
∘
f
:
X
→
Z
{\displaystyle g\circ f:X\to Z}
X
≅
Z
{\displaystyle X\cong Z}
הדוגמה הראשונה היא טריוויאלית. בעוד הדוגמה השנייה קשה יותר (מומלץ לקרוא בעיון ולנסות להבין). עוד נחזור לדוגמאות אלו אחרי ההגדרה הבאה:
הערה: קבוצה
X
∈
S
{\displaystyle X\in S}
תא של החלוקה. כלומר, אם
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
x
{\displaystyle x}
X
{\displaystyle X}
S
{\displaystyle S}
א. נתבונן בקבוצה
A
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\}}
B
=
{
{
1
,
2
}
,
{
3
}
,
{
4
,
5
}
}
{\displaystyle B={\bigl \{}\{1,2\},\{3\},\{4,5\}{\bigr \}}}
A
{\displaystyle A}
ב. הקבוצה
{
(
1
,
1
)
,
(
2
,
2
)
,
(
3
,
3
)
}
{\displaystyle {\bigl \{}(1,1),(2,2),(3,3){\bigr \}}}
A
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle A=\{1,2,3\}}
ג. הקבוצה
{
3
n
:
n
∈
N
}
∪
{
3
n
+
1
:
n
∈
N
}
∪
{
3
n
+
2
:
n
∈
N
}
{\displaystyle \{3n:n\in \mathbb {N} \}\cup \{3n+1:n\in \mathbb {N} \}\cup \{3n+2:n\in \mathbb {N} \}}
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
הקבוצה
{
(
1
,
1
)
,
(
2
,
2
)
,
(
3
,
3
)
}
{\displaystyle {\bigl \{}(1,1),(2,2),(3,3){\bigr \}}}
{
1
,
2
,
3
}
/
=
{\displaystyle \{1,2,3\}/=}
הגדרנו הגדרות רבות, אך לא עולה מהן בהכרח קשר ליחס השקילות. ראשית, נביא משפט שיעזור לנו לחבר בין כל ההגדרות שמקודם:
הוכחה:
היחס
≈
{\displaystyle \approx }
יהי
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
אם
a
∈
X
{\displaystyle a\in X}
X
{\displaystyle X}
a
∈
X
{\displaystyle a\in X}
a
≈
a
{\displaystyle a\approx a}
היחס
≈
{\displaystyle \approx }
יהיו
a
,
b
∈
A
{\displaystyle a,b\in A}
אם
a
≈
b
{\displaystyle a\approx b}
a
,
b
∈
X
{\displaystyle a,b\in X}
X
{\displaystyle X}
b
,
a
∈
X
{\displaystyle b,a\in X}
b
≈
a
{\displaystyle b\approx a}
היחס
≈
{\displaystyle \approx }
יהיו
a
,
b
,
c
∈
A
{\displaystyle a,b,c\in A}
אם
a
≈
b
{\displaystyle a\approx b}
b
≈
c
{\displaystyle b\approx c}
a
,
b
∈
X
{\displaystyle a,b\in X}
b
,
c
∈
Y
{\displaystyle b,c\in Y}
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
b
∈
X
∧
b
∈
Y
⇒
X
=
Y
{\displaystyle b\in X\land b\in Y\,\Rightarrow \,X=Y}
a
,
c
∈
X
{\displaystyle a,c\in X}
a
≈
c
{\displaystyle a\approx c}
הוכחנו כי
≈
{\displaystyle \approx }
כפי שמצביע שם המשפט: ליחס זה אנו קוראים היחס שמושרה על ידי החלוקה או שאנו אומרים החלוקה משרה את היחס .
עכשיו יש בידינו כלי, שדרכו נוכל לחבר בין כל ההגדרות שהובאו ולהראות מדוע יחסי השקילות כה חשובים:
משפט: קבוצת המנה היא חלוקה
יהי
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
A
{\displaystyle A}
קבוצת המנה
A
/
R
{\displaystyle A/{\mathcal {R}}}
A
{\displaystyle A}
הוכחה:
במהלך ההוכחה נסמן
[
a
]
{\displaystyle [a]}
a
{\displaystyle a}
(*): נוכיח
a
R
b
{\displaystyle a{\mathcal {R}}b}
[
a
]
=
[
b
]
{\displaystyle [a]=[b]}
כיוון ראשון נניח כי
a
R
b
{\displaystyle a{\mathcal {R}}b}
c
∈
A
{\displaystyle c\in A}
c
∈
[
a
]
{\displaystyle c\in [a]}
c
R
a
{\displaystyle c{\mathcal {R}}a}
c
R
a
{\displaystyle c{\mathcal {R}}a}
c
R
b
{\displaystyle c{\mathcal {R}}b}
a
R
b
{\displaystyle a{\mathcal {R}}b}
לבסוף,
c
R
b
{\displaystyle c{\mathcal {R}}b}
c
∈
[
b
]
{\displaystyle c\in [b]}
הראנו כי
c
∈
[
a
]
⟺
c
∈
[
b
]
{\displaystyle c\in [a]\iff c\in [b]}
[
a
]
=
[
b
]
{\displaystyle [a]=[b]}
כיוון שני: נניח כי
[
a
]
=
[
b
]
{\displaystyle [a]=[b]}
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
a
R
a
{\displaystyle a{\mathcal {R}}a}
a
∈
[
a
]
{\displaystyle a\in [a]}
מההנחה כי
[
a
]
=
[
b
]
{\displaystyle [a]=[b]}
a
∈
[
b
]
{\displaystyle a\in [b]}
לכן, מהגדרת מחלקת השקילות נקבל כי
a
R
b
{\displaystyle a{\mathcal {R}}b}
בכך הוכחנו את (*).
(1) נוכיח שלכל
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
[
a
]
≠
∅
{\displaystyle [a]\neq \varnothing }
:
לכל
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
a
R
a
{\displaystyle a{\mathcal {R}}a}
a
∈
[
a
]
{\displaystyle a\in [a]}
[
a
]
≠
∅
{\displaystyle [a]\neq \varnothing }
(2) נוכיח שאם
[
a
]
≠
[
b
]
{\displaystyle [a]\neq [b]}
[
a
]
∩
[
b
]
≠
∅
{\displaystyle [a]\cap [b]\neq \varnothing }
:
יהיו
[
a
]
,
[
b
]
∈
A
/
R
{\displaystyle [a],[b]\in A/{\mathcal {R}}}
[
a
]
≠
[
b
]
{\displaystyle [a]\neq [b]}
a
R
b
{\displaystyle a{\bcancel {\mathcal {R}}}b}
נניח בשלילה כי
[
a
]
∩
[
b
]
≠
∅
{\displaystyle [a]\cap [b]\neq \varnothing }
נובע כי קיים
c
∈
[
a
]
∩
[
b
]
{\displaystyle c\in [a]\cap [b]}
נובע כי
c
∈
[
a
]
{\displaystyle c\in [a]}
c
∈
[
b
]
{\displaystyle c\in [b]}
לכן, מהגדרת מחלקת השקילות מצאנו כי
c
R
a
{\displaystyle c{\mathcal {R}}a}
c
R
b
{\displaystyle c{\mathcal {R}}b}
מסימטריות נקבל כי
c
R
a
⇒
a
R
c
{\displaystyle c{\mathcal {R}}a\,\Rightarrow \,a{\mathcal {R}}c}
מטרנזיטיביות נקבל כי
a
R
c
∧
c
R
b
⇒
a
R
b
{\displaystyle a{\mathcal {R}}c\land c{\mathcal {R}}b\,\Rightarrow \,a{\mathcal {R}}b}
a
R
b
{\displaystyle a{\bcancel {\mathcal {R}}}b}
לכן
[
a
]
≠
[
b
]
⇒
[
a
]
∩
[
b
]
=
∅
{\displaystyle [a]\neq [b]\,\Rightarrow \,[a]\cap [b]=\varnothing }
(3): נראה כי
A
=
⋃
a
∈
A
[
a
]
{\displaystyle A=\bigcup _{a\in A}[a]}
כיוון ראשון: יהי
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
מהגדרת מחלקת השקילות, נקבל
[
a
]
⊆
A
{\displaystyle [a]\subseteq A}
⋃
a
∈
A
[
a
]
⊆
A
{\displaystyle \bigcup _{a\in A}[a]\subseteq A}
כיוון שני: יהי
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
נקבל
a
∈
[
a
]
{\displaystyle a\in [a]}
a
∈
⋃
a
∈
A
[
a
]
{\displaystyle a\in \bigcup _{a\in A}[a]}
בכך הראנו כי
A
⊆
⋃
a
∈
A
[
a
]
{\displaystyle A\subseteq \bigcup _{a\in A}[a]}
משילוב הכיוונים קיבלנו כי
A
=
⋃
a
∈
A
[
a
]
{\displaystyle A=\bigcup _{a\in A}[a]}
לפי (1), (2), (3) הראינו שכל מחלקת שקילות אינה ריקה, הראנו שכל שתי מחלקות שקילות שונות זרות והראנו שאיחוד כל מחלקות השקילות הוא
A
{\displaystyle A}
לכן, מהגדרת החלוקה, מצאנו כי
A
/
R
{\displaystyle A/{\mathcal {R}}}
קבוצת המנה : ראה הגדרה) היא חלוקה של
A
{\displaystyle A}
הוכחה:
במשפט: קבוצת המנה היא חלוקה, הוכחנו כי
A
/
R
{\displaystyle A/{\mathcal {R}}}
A
{\displaystyle A}
עתה נוכיח כי
A
/
R
{\displaystyle A/{\mathcal {R}}}
היחידה שמשרה את
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
(1) נוכיח כי
A
/
R
{\displaystyle A/{\mathcal {R}}}
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
a
R
b
{\displaystyle a{\mathcal {R}}b}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
A
/
R
{\displaystyle A/{\mathcal {R}}}
כיוון ראשון: נניח כי
a
R
b
{\displaystyle a{\mathcal {R}}b}
נובע כי
a
∈
[
b
]
{\displaystyle a\in [b]}
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
b
R
b
{\displaystyle b{\mathcal {R}}b}
b
∈
[
b
]
{\displaystyle b\in [b]}
מצאנו כי
a
∈
[
b
]
{\displaystyle a\in [b]}
b
∈
[
b
]
{\displaystyle b\in [b]}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
כיוון שני: נניח כי
a
,
b
{\displaystyle a,b}
A
/
R
{\displaystyle A/{\mathcal {R}}}
a
,
b
∈
[
c
]
{\displaystyle a,b\in [c]}
מהגדרת מחלקת השקילות נקבל כי
a
R
c
{\displaystyle a{\mathcal {R}}c}
b
R
c
{\displaystyle b{\mathcal {R}}c}
לכן נקבל
a
R
b
{\displaystyle a{\mathcal {R}}b}
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
כלומר, בסה"כ
a
,
b
∈
[
c
]
⟺
a
R
b
{\displaystyle a,b\in [c]\iff a{\mathcal {R}}b}
[
c
]
∈
A
/
R
{\displaystyle [c]\in A/{\mathcal {R}}}
בכך הראינו שהחלוקה
A
/
R
{\displaystyle A/{\mathcal {R}}}
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
(2): נוכיח כי זו החלוקה היחידה שמשרה את
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
תהי
T
{\displaystyle T}
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
a
R
b
{\displaystyle a{\mathcal {R}}b}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
T
{\displaystyle T}
כייון ראשון: יהי
X
{\displaystyle X}
T
{\displaystyle T}
X
≠
∅
{\displaystyle X\neq \varnothing }
a
∈
X
{\displaystyle a\in X}
b
∈
A
{\displaystyle b\in A}
b
∈
X
{\displaystyle b\in X}
a
R
b
{\displaystyle a{\mathcal {R}}b}
T
{\displaystyle T}
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
כלומר
a
R
b
{\displaystyle a{\mathcal {R}}b}
b
∈
[
a
]
{\displaystyle b\in [a]}
A
/
R
{\displaystyle A/{\mathcal {R}}}
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
מצאנו כי
a
,
b
∈
X
⟺
a
R
b
⟺
a
,
b
∈
[
a
]
{\displaystyle a,b\in X\iff a{\mathcal {R}}b\iff a,b\in [a]}
X
=
[
a
]
{\displaystyle X=[a]}
הראינו שכל תא
X
∈
T
{\displaystyle X\in T}
A
/
R
{\displaystyle A/{\mathcal {R}}}
T
⊆
A
/
R
{\displaystyle T\subseteq A/{\mathcal {R}}}
כיוון שני: יהי
[
a
]
∈
A
/
R
{\displaystyle [a]\in A/{\mathcal {R}}}
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
מתקיים
b
∈
[
a
]
{\displaystyle b\in [a]}
a
R
b
{\displaystyle a{\mathcal {R}}b}
A
/
R
{\displaystyle A/{\mathcal {R}}}
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
כמו כן,
a
R
b
{\displaystyle a{\mathcal {R}}b}
b
∈
X
{\displaystyle b\in X}
T
{\displaystyle T}
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
הראנו כי
a
,
b
∈
[
a
]
⟺
a
R
b
⟺
a
,
b
∈
T
{\displaystyle a,b\in [a]\iff a{\mathcal {R}}b\iff a,b\in T}
הראינו שכל תא
[
a
]
∈
A
/
R
{\displaystyle [a]\in A/{\mathcal {R}}}
T
{\displaystyle T}
A
/
R
⊆
T
{\displaystyle A/{\mathcal {R}}\subseteq T}
משילוב הכיוונים מצאנו כי
T
=
A
/
R
{\displaystyle T=A/{\mathcal {R}}}
מ־(1) ומ־(2) הוכחנו כי
A
/
R
{\displaystyle A/{\mathcal {R}}}
במשפטים אלו הוכחנו שני דברים חשובים:
הראשון, קבוצת המנה של קבוצה היא חלוקה .
השני, קבוצת המנה היא החלוקה היחידה שמשרה את יחס השקילות שמגדיר אותה.
משילוב המשפטים ניתן לראות, שאם נקבל חלוקה - אז נוכל להשרות דרכה יחס שקילות.
ואם נקבל יחס שקילות, נוכל למצוא את החלוקה שמשרה אותו; היא פשוט קבוצת המנה.
מכאן, נשוב לדוגמה ב' בדוגמאות ליחס שקילות :
אחת הדרכים (אם כי הפחות שימושית) בה מגדירים באופן פורמלי עוצמה
≅
{\displaystyle \cong }
כלומר, אנו יודעים כי לשתי קבוצות יש אותה עוצמה אם יש ביניהן בייקציה. לכן, בהנתן קבוצה
A
{\displaystyle A}
[
A
]
{\displaystyle [A]}
≅
{\displaystyle \cong }
ואכן, אנו נאמר כי ל־
A
,
B
{\displaystyle A,B}
B
∈
[
A
]
{\displaystyle B\in [A]}
כמו כן, הגדרות רבות במתמטיקה (למשל של סודרים ) ניתנות על ידי מחלקות שקילות והקשר שביניהן לבין חלוקה.
דוגמאות לאובייקטים מתמטיים שנהוג להגדיר על ידי יחס שקילות ועל ידי קבוצת המנה הם המספרים השלמים והרציונליים.
כדוגמה נוספת למחלקת שקילות :
אפשר להסתכל על דמיון ועל חפיפת משולשים כיחסי שקילות.
נסו למצוא תאור מדוייק של מחלקות השקילות של יחס הדמיון בין משולשים.
חישבו גם מה משותף ביחס החפיפה בין משולשים, ליחס השוויון בין קבוצות (ראה דוגמה א' בדוגמות ליחס שקילות).
![{\displaystyle [a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea82bc70a8e322f13a3c4e5b9d5d69e8ef097ad8)
![{\displaystyle [a]=\{b\in A:b{\mathcal {R}}a\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5b06674ff5ad974fa9e22e3bf5b74dc669933c1)
![{\displaystyle A/{\mathcal {R}}={\bigl \{}[a]:a\in A{\bigr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ec5657563aa128579ea370901c8aa4247288ee)
![{\displaystyle [a]=[b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/410d2187c04d4e54d4ccec24556a76fd427a93aa)
![{\displaystyle c\in [a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27033bcdcc0c7f51454e930fad292d0e25c5a364)
![{\displaystyle c\in [b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f380d0908d53a095e75fb15b312a14ef20fc34ba)
![{\displaystyle c\in [a]\iff c\in [b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83dbc7f754fa008523c8cc47d8628044f368f638)
![{\displaystyle a\in [a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e21b33d3bf0176aa3d2866bec500adf92f748eb)
![{\displaystyle a\in [b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8abb5047c33633d5a0697408f3df2aead151e4ea)
![{\displaystyle [a]\neq \varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e0aa954b09e464b5460ef888b45f9ae464c9426)
![{\displaystyle [a]\neq [b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01b313bd1cbb7ce96e790137dee3c1937591498e)
![{\displaystyle [a]\cap [b]\neq \varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/579d6b6f2fd0781f5b0cb4452d6f41ddf9cd31b4)
![{\displaystyle [a],[b]\in A/{\mathcal {R}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e821ff5ad7e9937fdfed603c0524c039026978)
![{\displaystyle c\in [a]\cap [b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/128dcca78ea9012d7ce4e24c714916ab1dc1fa63)
![{\displaystyle [a]\neq [b]\,\Rightarrow \,[a]\cap [b]=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c75d33689fa18459e592b89de213282f8a9dbf6)
![{\displaystyle A=\bigcup _{a\in A}[a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb33283e3ae2832e0d99b0b775e44d37d9c60d44)
![{\displaystyle [a]\subseteq A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/037c8b4963902d748b5c8e5acf3781608f37bc3a)
![{\displaystyle \bigcup _{a\in A}[a]\subseteq A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d214545509db2716fc62feb80cd395c37d231f4)
![{\displaystyle a\in \bigcup _{a\in A}[a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77216a97d81016ded67409eb586834674c37ff31)
![{\displaystyle A\subseteq \bigcup _{a\in A}[a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08b28a79c5666e8d6223158f0901f02b04fc9216)
![{\displaystyle b\in [b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ed1a67cc9c18f0b7aeaee4606edef6a6fdfa1e)
![{\displaystyle a,b\in [c]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcec6f94d495b056f296941e7e30479084c13358)
![{\displaystyle a,b\in [c]\iff a{\mathcal {R}}b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96b21b45ed8189d61b5f562122a2fe68515866c)
![{\displaystyle [c]\in A/{\mathcal {R}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f9692755147f1eacc8874c16887ce1c0a6dd955)
![{\displaystyle b\in [a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd1c441d4221216c8947ac50d43331042f72672b)
![{\displaystyle a,b\in X\iff a{\mathcal {R}}b\iff a,b\in [a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7860bc2d00bdca184c09746118312fddcf7d25bb)
![{\displaystyle X=[a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/183bcf910a1ec30024b30a5271dc610866ddf781)
![{\displaystyle [a]\in A/{\mathcal {R}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ee9300181616737ee87fc5872f1722e0dcbd4e)
![{\displaystyle a,b\in [a]\iff a{\mathcal {R}}b\iff a,b\in T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a10075b78edc6cee3d845b08a75a4bfdf509e92)
![{\displaystyle [A]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79eaa334597b1861f1b08ca0c8fecb3858ebcb12)
![{\displaystyle B\in [A]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4298d44259bf4e3f1804279d52e49bfffa892743)