תורת הקבוצות/פעולות על קבוצות

איחוד קבוצות עריכה

 
דיאגרמת ון של האיחוד של  

הגדרה 1.3: איחוד קבוצות

תהיינה   קבוצות. לכל אבר   מתקיים:   אם ורק אם   או   .

 

במלים אחרות: האיחוד שלהם הוא הקבוצה המכילה את כל אברי   ואת כל אברי   , ורק אותם.

מעצם ההגדרה, ברור כי אין חשיבות לסדר הקבוצות. כלומר,   .



משפט 1.4:

תהיינה   קבוצות. מתקיים:   וגם   .

הוכחה

נשוב להגדרה של הכלה (הגדרה 1.1). עלינו להראות שלכל   אם   אז   . אך טענה זו נובעת ישירות מההגדרה של איחוד, ולכן   . ההוכחה עבור   זהה.



משפט 15:

תהיינה   קבוצות המקיימות   . מתקיים:   .

הוכחה

על-מנת להוכיח שוויון בין קבוצות, עלינו להראות הכלה משני הכיוונים, כלומר   וגם   .

הכיוון הראשון נובע ממשפט 1.3. על-מנת להוכיח את הכיוון השני, יהי אבר   המקיים   . לפי הגדרת האיחוד (הגדרה 1.5), מתקיים   או   .

כיון ש־  , אם   אז   , ולכן בשני המקרים   . לכן   .



משפט 1.6:

לכל קבוצה   מתקיים:   .

הוכחה

ממשפט 1.3 מתקיים   , ולכן לפי משפט 1.4 מתקיים   .

ממשפט 1.1 מתקיים   , ולכן שוב לפי משפט 1.4 מתקיים   .


הגדרה 1.4: המספרים הטבעיים

נגדיר את המספרים הטבעיים באופן הבא:

  1.  
  2.  

כלומר, 0 מוגדר בתור הקבוצה הריקה, וכל מספר טבעי מוגדר באמצעות קבוצת הטבעיים הקטנים ממנו.

איחוד מורחב עריכה

כפי שהגדרנו איחוד של שתי קבוצות, נוכל גם להגדיר איחוד של שלוש קבוצות:

 

באופן זה ניתן להרחיב את ההגדרה גם לאיחוד של 4 קבוצות, 5 קבוצות וכן הלאה.

בהינתן אוסף של קבוצות   , נגדיר את האיחוד של הקבוצות כקבוצת האברים המופיעים באחת מהקבוצות. כלומר:

 

חיתוך קבוצות עריכה

 
דיאגרמת ון של החיתוך של  


הגדרה 1.5: חיתוך קבוצות

תהיינה   קבוצות. לכל אבר   מתקיים:   אם ורק אם   וגם   .

 

במלים אחרות: החיתוך שלהם הוא הקבוצה המכילה את כל האברים המשותפים גם ל־  וגם ל־  , ורק אותם.

מעצם ההגדרה, ברור כי אין חשיבות לסדר הקבוצות. כלומר,   .



משפט 1.7:

תהיינה   קבוצות. מתקיים:   וגם   .

הוכחה

נחזור להגדרת ההכלה (הגדרה 1.1). עלינו להראות שלכל   אם   אז   . טענה זו נובעת ישירות מההגדרה של חיתוך, ולכן   . ההוכחה עבור   זהה.



משפט 1.8:

תהיינה   קבוצות המקיימות   . מתקיים:   .

הוכחה

על-מנת להוכיח שוויון בין קבוצות, עלינו להראות הכלה משני הכיוונים, כלומר   וגם   . הכיוון השני נובע ממשפט 1.7. על-מנת להוכיח את הכיוון הראשון, יהי אבר   . כיון ש-   מתקיים   , ולכן לפי הגדרת האיחוד   .



משפט 1.9:

לכל קבוצה   מתקיים:   .

הוכחה

ממשפט 1.3 מתקיים   ולכן לפי משפט 1.8 מתקיים   . ממשפט 1.1 מתקיים   ולכן שוב לפי משפט 1.7 מתקיים   .


חיתוך מורחב עריכה

כפי שהגדרנו חיתוך של שתי קבוצות, נוכל גם להגדיר חיתוך של שלוש קבוצות:

 

באופן זה ניתן להרחיב את ההגדרה גם לחיתוך של 4 קבוצות, 5 קבוצות וכן הלאה.

בהינתן אוסף של קבוצות   , נגדיר את החיתוך של הקבוצות כקבוצת האברים המופיעים בכל אחת מהקבוצות. כלומר:

 

הפרש בין קבוצות עריכה

 
דיאגרמת ון של ההפרש בין שתי קבוצות

הגדרה 1.6: הפרש בין קבוצות

תהיינה   קבוצות. לכל אבר   מתקיים:   אם ורק אם   אך   .

 

במלים אחרות: ההפרש שלהם הוא הקבוצה המכילה את אברי   שאינם שייכים ל־  , ורק אותם.


הערה: למרות שנהוג היום יותר להשתמש ב־  , עדיין נהוג לעתים בספרות ובמאמרים מסוימים בויקיפדיה השימוש בסימן   בשביל ההפרש בין קבוצות.

הפרש סימטרי עריכה

 
דיאגרמת ון של ההפרש הסימטרי של  

הגדרה 1.7: הפרש סימטרי

תהיינה   קבוצות. לכל אבר   מתקיים:   אם ורק אם   .

 

במלים אחרות: ההפרש הסימטרי שלהם הוא הקבוצה המכילה את כל האברים שאינם שייכים לחיתוך שלהם, ורק אותם.

תכונות מעניינות שמקיים ההפרש הסימטרי:

  • קומוטאטיביות  
  • אסוציאטיביות  

הוכחת העובדות האלה ניתנת כתרגיל לקורא.

כללי דה־מורגן עריכה

חוקי דה־מורגן הנם חוקים אשר מטרתם ל"הפוך" חיתוך באיחוד. זה נעשה על־ידי שימוש במשלים. לכל שתי קבוצות   מתקיים:

 

הוכחת חוקי דה־מורגן עריכה

כעת נדגים הוכחה בתורת הקבוצות, ובד בבד, גם נוכיח את הכללים החשובים של דה־מורגן.

הוכחה

נפתח בחוק הראשון.

 

בצורה דומה מוכח גם המשפט השני.

כללי דה־מורגן המוכללים עריכה

בהינתן אוסף של קבוצות   , מתקיים:

 

ההוכחה כמעט זהה לחלוטין להוכחה של חוקי דה־מורגן, ועל כן, היא מושארת כתרגיל לקורא.


הפרק הקודם:
יחסים בין קבוצות
פעולות על קבוצות הפרק הבא:
מכפלה קרטזית