תורת הקבוצות/מכפלה קרטזית

ראינו כבר בעבר שאין חשיבות לסדר שבו אברים מצויים בקבוצה. כך לדוגמא, $\{1,2,3\}=\{3,1,2\}$ . היינו רוצים מושג שיעזור לנו להגדיר את המושג של "קבוצה סדורה", כפי שאנחנו מבינים אותו. כלומר, "קבוצה" שבה יש חשיבות לסדר. זוהי מטרתו העיקרית של הפרק הזה.

זוג סדור

הגדרה: בהינתן קבוצות $A,B$ ואברים בהם $a,b$ בהתאמה, נגדיר את הזוג הסדור:

$(a,b)={\big \{}\{a\},\{a,b\}{\big \}}$

על הקורא לנסות לשכנע את עצמו מדוע ההגדרה הזו "נכונה", מהבחינה האינטואטיבית של "קבוצה בעלת חשיבות לסדר". מבחינה פורמלית, הדבר מוכח בטענה הבאה:

טענה

$(a,b)=(x,y)$ אם ורק אם $a=x$ וגם $y=b$

הוכחה

כיוון ראשון, נניח שמתקיים

$(x,y)=(a,b)$

לכן, יש שוויון בין הקבוצות

${\big \{}\{x\},\{x,y\}{\big \}}={\big \{}\{a\},\{a,b\}{\big \}}$

לכן

$\{a\}=\{x\}$ או $\{a\}=\{x,y\}$

כיון שבאחת יש 2 אברים (אם לא, אז במקרה $x=y$ הטענה נכונה בהכרח), $x=a$ בהכרח. מכאן

$\{x,y\}=\{a,b\}$

ומהשוויון הראשון בהכרח מתקיים $y=b$ כנדרש.

נשים לב שתחת ההגדרה הזו, מתקיים

$a\neq b\ \Rightarrow \ (a,b)\neq (b,a)$

כלומר יש חשיבות לסדר.

המכפלה הקרטזית

כעת נשתמש בהגדרה הנ"ל כדי לבנות משתי קבוצות נתונות $A,B$ קבוצה חדשה, שתיקרא המכפלה הקרטזית של $A,B$ והיא מסומנת ומוגדרת כדלהלן:

$A\times B={\Big \{}(a,b){\Big |}a\in A,b\in B{\Big \}}$

כלומר, המכפלה הקרטזית היא אוסף כל הזוגות הסדורים, שהאבר הראשון שלהם הוא מ- $A$ והאבר השני שלהם הוא מ- $B$ .

דוגמאות

• נסתכל על הקבוצות $A=\{0,1\}\ ,\ B=\{a,b,c\}$ אזי נקבל כי:

$A\times B={\Big \{}(0,a),(0,b),(0,c),(1,a),(1,b),(1,c){\Big \}}$

• כאשר $A,B$ אותן קבוצות מהדוגמא הקודמת, נקבל כי:

$B\times A={\Big \{}(a,0),(a,1),(b,0),(b,1),(c,0),(c,1){\Big \}}$

הכללה למספר סופי של קבוצות

בהינתן קבוצות $A_{1},\dots ,A_{n}$ נגדיר את המכפלה הקרטזית שלהן להיות:

$A_{1}\times \cdots \times A_{n}={\Big \{}(a_{1},\ldots ,a_{n}){\Big |}a_{1}\in A_{1},\ldots ,a_{n}\in A_{n}{\Big \}}$

כמו כן, כאשר מכפילים קרטזית קבוצה $A$ בעצמה $n$ פעמים, נהוג לסמן זאת באמצעות $A^{n}$ .

מאוחר יותר כשנדבר על פונקציות נוכל באמת להכליל את המושג של זוג סדור ושל מכפלה קרטזית בצורה יותר פורמאלית, לאוסף כלשהו (סופי או אינסופי) של קבוצות.

תכונות של המכפלה הקרטזית

כבר בדוגמאות ראינו שבדרך-כלל לא יתקיים $A\times B=B\times A$ כאשר $A,B$ קבוצות כלשהן. חלק מהתכונות להלן מושארות לקורא כתרגיל:

1. $A\times (B\times C)\neq (A\times B)\times C\neq A\times B\times C$
2. $A\times (B\cup C)=A\times B\cup A\times C$
3. $A\times (B\setminus C)=A\times B\setminus (A\times C)$
4. $A\times (B\cap C)=A\times B\cap A\times C$
5. $A\times (B\Delta C)=A\times B\Delta A\times C$
6. $(\alpha \subset A)\land (\beta \subset B)\iff (\alpha \times \beta )\subset (A\times B)$

הפרק הקודם: פעולות על קבוצות

מכפלה קרטזית

הפרק הבא: קבוצת החזקה