הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/משפט ערך הביניים

משפט

תהי פונקציה רציפה. יהי מספר ממשי עבורו או .

אזי קיים עבורו .

הוכחה באמצעות הגדרת קבוצה (1)

עריכה

נניח ללא הגבלת הכלליות כי עבור   אנו רוצים למצוא מספר   עבורו   .

נגדיר קבוצה   .

  ולכן זוהי קבוצה לא־ריקה,   חסם מלעיל שלה. על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשיים יש לה חסם עליון   . נוכיח כי   .

  • נניח   . מהרציפות נובע שבפרט עבור   קיים   כך שלכל   מתקיים
 
אך לכל   מתקיים   . סתירה.
  • נניח   . באופן דומה נובע שבפרט עבור   קיים   כך שלכל   מתקיים
 
אך לכל   מתקיים   . סתירה.

לכן   .

 

הוכחה באמצעות הגדרת קבוצה (2)

עריכה

הוכחה זו כמעט זהה לקודמתה, אך ניסוחה מסובך יותר.

נניח ללא הגבלת הכלליות כי עבור   אנו רוצים למצוא מספר   עבורו   .

נגדיר קבוצה   .

  ולכן זוהי קבוצה לא־ריקה,   חסם מלעיל שלה. על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשיים יש לה חסם עליון   . נוכיח כי   .

מרציפות   נובע שלכל   קיים   כך שלכל   מתקיים   . כלומר

 
  • בכל סביבה   יש אבר של   . בפרט קיים בסביבה זו   עבורו
 
  • בכל סביבה   אין אבר של   . בפרט קיים בסביבה זו   עבורו
 

עקב התנאים הנ"ל מתקיים על־פי כלל הסנדוויץ'

 

לכן   כמבוקש.

 

הוכחה באמצעות חציה לקטעים

עריכה

אם   , אז ההוכחה גמורה מכיון ש-   האפשרי היחיד הוא   (או  ) המתקבל בנקודות   . אזי, נניח   .

נגדיר את פונקצית העזר הבאה:   . נשים לב כי מתקיים   וכן   . תהי   . קיימות שלוש אפשרויות:

א)   וסיימנו.

ב)   ואז נתבונן בקטע  

ג)   ואז נתבונן בקטע  

בשני המקרים האחרונים מתקיים   ו-   ו-   .

נמשיך ע"י חציית הקטעים באופן דומה. בשלב ה- -י נתון הקטע   כך ש-   ואנו בוחרים בנקודה   וכדומה.

אם התהליך נעצר בשלב סופי, כלומר קיים   כך ש-   אז סיימנו כי אז   . אחרת, בנינו סדרות המקיימות:

  •   סדרה מונוטונית עולה שחסומה מלעיל ע"י   ולכן מתכנסת לנקודה שנסמנה   .
  •   סדרה מונוטונית יורדת שחסומה מלרע ע"י   ולכן מתכנסת לנקודה שנסמנה   .

באופן שמתקיים   .

נשים לב, שאופיו של תהליך החציה שלנו בקטע הנתון מקיים:   הסדרה השמאלית היא סדרה קבועה שמתכנסת ל-0. הסדרה הימנית גם כן מתכנסת ל-0. הסדרה האמצעית מתכנסת ל-   עפ"י החוק להפרש גבולות. לכן, נובע מכלל הסנדוויץ' כי   הוא ביטוי אשר מתכנס ל-0. לפיכך,   ונסמן גבול זה   .

(הערה: לחילופין, היינו יכולים להשתמש בלמה של קנטור כדי להראות שהסדרות מתכנסות ולאותו הגבול)

נתבונן בסדרות   ‏.   היא פונקציה רציפה כהפרש של פונקציות רציפות ו-   , לכן   . באופן דומה   .

מאחר ו-   לכל   והסדרות   מתכנסות, אזי נובע מהמשפט מונטוניות של גבולות כי

 

מאידך גיסא, עפ"י החוק למכפלת גבולות, מקבלים כי:

 

קיבלנו כי   וזה נכון אם ורק אם   כמבוקש.