t
a
n
α
=
a
b
{\displaystyle tan\alpha ={\frac {a}{b}}}
עתה משיש לנו היטל אנך ומשופע אנו זקוקים לגדלים בכדי למצוא את זווית
α
{\displaystyle \alpha }
קל מאוד לראות את אורך הצלעות באמצעות השרטוט הקודם. אפשרות אחרת מסורבלת יותר היא לחשב את המרחקים של הישרים:
אורך האנך (
α
{\displaystyle \alpha }
d
=
(
x
1
−
x
2
)
2
+
(
y
1
−
y
2
)
2
{\displaystyle d={\sqrt {{(x_{1}-x_{2})}^{2}+{(y_{1}-y_{2})}^{2}}}}
(
0
,
4
)
{\displaystyle (0,4)}
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
נציב את הנתונים בנוסחת המרחק:
d
h
=
(
0
−
0
)
2
+
(
4
−
0
)
2
=
4
{\displaystyle d_{h}={\sqrt {{(0-0)}^{2}+{(4-0)}^{2}}}=4}
אורך ההיטל (
β
{\displaystyle \beta }
(
−
2
,
0
)
{\displaystyle (-2,0)}
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
נציב את הנתונים בנוסחת המרחק:
d
h
=
(
0
−
−
2
)
2
+
(
0
−
0
)
2
=
2
{\displaystyle d_{h}={\sqrt {{(0--2)}^{2}+{(0-0)}^{2}}}=2}
עתה נמצא את זווית אלפא באמצעות טנגנס:
t
a
n
α
=
a
b
=
4
2
=
2
{\displaystyle tan\alpha ={\frac {a}{b}}={\frac {4}{2}}=2}
מצאנו את גודל השיפוע של הפונקציה
y
=
2
x
+
4
{\displaystyle y=2x+4}
x
{\displaystyle x}
אם נחלץ את הטנגנס נמצא את גודל הזווית במעלות. לעיתים יהיו תרגילים אשר ישלבו את שתי מיומנויות אלו.
בהינתן שתי נקודות על מישור נוכל לחשב שיפועים תמיד באמצעות מציאת מרחקים :
אורך האנך יהיה שווה למרחק
Δ
y
2
−
y
1
{\displaystyle \Delta y_{2}-y_{1}}
אורך ההיטל יהיה שווה למרחק
Δ
x
1
−
x
2
{\displaystyle \Delta x_{1}-x_{2}}
מטרתנו בפרק זה הייתה להבין כיצד גילו את נוסחת השיפוע. בחרנו ישר שהנקודות שלו מונחות על הצירים ולכן לא חווינו כמעט את פעולת החיסור (הרי החסרנו באפס) וראינו במו עיננו את אורך הצלעות.
המשך הדגמה לנוסחת השיפוע במקרים רבים לא יהיה בידינו את נקודת החיתוך של הישר עם הצירים או שלא נרצה למצוא אותם מאחר שפשוט יותר להיעזר בשתי הנקודות הנתונות. במקרים כאלה, פעולת החיסור תבוא לידי ביטוי באופן משמעותי יותר.
לו היינו מחפשים את השיפוע לישר העובר דרך הנקודות
(
1
,
4
)
{\displaystyle (1,4)}
(
−
2
,
1
)
{\displaystyle (-2,1)}
אורך האנך :
Δ
=
4
−
1
=
3
{\displaystyle \Delta =4-1=3}
אורך ההיטל :
Δ
=
−
2
−
−
1
=
|
−
1
|
=
1
{\displaystyle \Delta =-2--1=|-1|=1}
ערך מוחלט שיפוע הישר המתקבל
t
a
n
α
=
3
1
=
3
{\displaystyle tan\alpha ={\frac {3}{1}}=3}
עריכה
רביע ראשון
דוגמה לזוויות
טנגנס בריבוע
הישר
רביע ראשון
30
∘
{\displaystyle 30^{\circ }}
3
3
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}
הזווית חיובית (
t
a
n
>
0
{\displaystyle tan>0}
45
∘
{\displaystyle 45^{\circ }}
1
60
∘
{\displaystyle 60^{\circ }}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
זווית ישרה
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
לא מוגדר
אין פונקציה ישרה אשר
y
=
0
{\displaystyle y=0}
רביע שני
135
∘
{\displaystyle 135^{\circ }}
−
1
{\displaystyle -1}
הזווית שלילית (
t
a
n
<
0
{\displaystyle tan<0}
120
∘
{\displaystyle 120^{\circ }}
−
3
{\displaystyle -{\sqrt {3}}}
150
∘
{\displaystyle 150^{\circ }}
−
3
3
{\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}
.png)
