מתמטיקה תיכונית/חשבון אינטגרלי/פעולת האינטגרציה

אינטגרציה

בפרק זה נסביר ונמיין את המצבים השונים לביצוע אינטגרציה. הכללים והנוסחאות מופיעים כרשימה מסודרת בדף זה

מצב	כללים ואינטגרציה	דוגמא
כללים	כאשר יש לנו סכום או הפרש של פונקציות, נבודד את הפונקציות ונבצע על כך אחת מהן אינטגרציה: $\int {\big (}f(x)\pm g(x){\big )}dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$ כאשר יש לנו מקדם קבוע (סקלר), נוציא לפני ביצוע האינטגרציה את המספר הקבוע (בידוד הנעלם עם החזקה) על-פי הכלל: $\int k\cdot f(x)dx=k\cdot \int f(x)dx$‏.
נוסחה - גורם אחד	אינטגרציה של גורם יחיד: $\int k\cdot a^{x}dx=k\cdot {\frac {a^{x+1}}{x+1}}$	$\int (2x^{2}+x^{3})dx=2\int x^{2}dx+\int x^{3}dx=2\cdot {\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}$
נוסחא - ביטוי	אינטגרציה לביטוי: $\int (ax+b)^{n}dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}$
כלל - גורם יחיד במכנה	נעזר בכלל חזקות: ${\frac {1}{ax}}=ax^{-1}$ ונבצע אינטגרציה בהתאם לנוסחאות.
כלל - כפל/חילוק בין פונקציות	אין אנו יודעים כיצד לבצע אינטגרציה, למשל, ${\frac {2+x}{x}}$ ולכן, נפריד את הגורמים על-ידי כפל או חילוק לפי הנוחות.	${\frac {2+x}{x}}=(2+x)\cdot x^{-1}=2x^{-1}+x^{0}$ ${\frac {2+x}{x}}={\frac {2}{x}}+{\frac {x}{x}}$
נוסחה - שורש	נעדיף לא להשתמש בנוסחת השורשים אם אפשר, נבטל אותו עוד מלכתחילה ‏ . צריך לזכור את שתיהן בעל-פה, אף שאפשר להגיע אליהן באמצעות כללי חזקות. $\int {\sqrt {ax+b}}dx={\frac {2{\sqrt {(ax+b)^{3}}}}{3a}}$ $\int {\frac {dx}{\sqrt {ax+b}}}={\frac {2{\sqrt {ax+b}}}{a}}$
פונקציה טריגונומטרית	זהויות $\int \sin(x)dx=-\cos(x)+C$ $\int \cos(x)dx=\sin(x)+C$ $\int {\frac {dx}{\cos ^{2}(x)}}=\tan(x)+C$ $\int \sin(ax+b)dx=-{\frac {\cos(ax+b)}{a}}+C$ $\int \cos(ax+b)dx={\frac {\sin(ax+b)}{a}}+C$ $\int {\frac {dx}{\cos ^{2}(ax+b)}}={\frac {\tan(ax+b)}{a}}+C$
אינטגרל מורכב - "תרגיל מכוער"	חילוק פולינומי - כאשר גם במונה וגם במכנה יש מספר גורמים, כמו לדוגמא: ${\frac {x^{4}+2x^{3}+2x+1}{x+1}}$ . הצבה - בד"כ נעדיף הצבה כאשר במכנה יש פונקציה בחזקה (במקום לפתוח את המכנה - נשתמש בהצבה). כל עוד אין תחום מסוים, נזכור להוסיף $C$

הצבה

• שיטת ההצבה

בהצבה נעזרים בנוסחה ${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=f'(x)}$ בכדי לבצע אינטגרציה.

שלב	דוגמא
זיהוי	$\int {\frac {x-4}{(x^{2}-8x)^{2}}}dx$
הצבה בכדי להגדיר את dy	$f(t)=x^{2}-8x$
גזירה $f(t)$ לקבל $dy$ (במקרה זה $dt$)	$dt=(2x-8)$
בידוד $dx$ בנוסחה : ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)}$ כלומר ${\displaystyle {\frac {dy}{f'(x)}}=dx}$	$dx={\frac {dt}{2x-8}}$
הצבה באינטגרל וצמצום ‏ - $t,dt$	${\begin{aligned}&\int {\frac {x-4}{t^{2}}}\cdot {\frac {dt}{2x-8}}\\&\int {\frac {x-4}{t^{2}}}\cdot {\frac {dt}{2(x-4)}}\\&\int {\frac {1}{t^{2}}}\cdot {\frac {dt}{2}}\\\end{aligned}}$
שלבים רגילים - נוציא מספר קבוע	${\frac {1}{2}}\cdot \int {\frac {dt}{t^{2}}}$
נבצע אינטגרציה	${\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\cdot \int {\frac {dt}{t^{2}}}\\&{\frac {1}{2}}\cdot \int t^{-2}dt\\&{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {t^{-2+1}}{-1}}\\&-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{t}}\\\end{aligned}}$
נציב בחזרה	${\frac {1}{2(8x-x^{2})}}$
נוסיף משתנה קבוע	${\frac {1}{2(8x-x^{2})}}+C$