תבנית
|
(הדוגמה המסובכת ביותר בבגרות לפונקצית שורש)
|
תחום הגדרה ותנאים מקדמים
|
![{\displaystyle {\sqrt {f(x)\geq 0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86e62b309d5c0a770b71d7323558e940bed83834)
- פונקצית שורש עם כללי גזירה: חשוב לוודא את תחום ההגדרה של כלל הפונקציות. לדוגמה כאשר הפונקציה היא
, יש לבדוק .
|
חיתוך עם הצירים
|
ציר
|
נציב ונפתור (לפחות) משוואה עם שורשים.
|
ציר
|
- הצבה
![{\displaystyle x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc)
- פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים:
- יש חיתוך - פתרון יחיד.
- אין חיתוך - משוואה לא-הגיונית, כמו למשל
![{\displaystyle 2=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263bd261ea576e390f2f28945817c654ee8d17d4)
|
נקודת הקיצון
|
- גזירת הפונקציה על-פי נגזרת של פונקצית שורש, כלל הגזירה של פונקציה המוכפלת במספר קבוע, כלל הגזירה מנה של פונקציות:
![{\displaystyle {\sqrt {f(x)}}'={\frac {f'(x)}{2{\sqrt {f(x)}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ecdd3167950d3ab4854e45986af344b276bb6f5)
- מציאת ערכי
של הנקודות - השוואה לאפס ( ).
- מציאת ערכי
של הנקודות - את ערכי ה- נמצא על-ידי הצבת ערכי במשוואה הפונקציה המקורית.
|
נקודות פיתול
|
מציאה באמצעות טבלה
|
השלבים למציאת נקודת פיתול זהים לשלבים של מציאת נקודת קיצון, כלומר:
- נבצע גזירה. נגזרת של פונקצית שורש:
![{\displaystyle {\sqrt {f(x)}}'={\frac {f'(x)}{2{\sqrt {f(x)}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ecdd3167950d3ab4854e45986af344b276bb6f5)
- נשווה נגזרת לאפס.
- נפתור את המשוואה.
- נגלה את סוג הנקודה באמצעות טבלה - בניגוד לנקודת קיצון (שיש עליה וירידה או להפך), עבור נקודת פיתול, הפונקציה "תעלה ותעלה" או "תרד ותרד".
|
מציאה באמצעות נגזרת שניה
|
|
אסימפטוטות
|
אנכית
|
אם יש לנו ערך המאפס את המכנה תמיד נבנה טבלה ונבחן האם מדובר בחור או באסימפטוטה:
- בטבלה יהיו שבעה ערכים כשהמרכזי הוא ערך הנקודה החשודה.
- יש להציב שישה ערכי
קרובים לתוצאה אותה קיבלנו לפני ואחרי הנקודה.
- לחשב את ערך
של באמצעות הצבה בטבלה.
- לבחון את התנהגות הפונקציה:
- אם ערך
גדל ככל שמתקרבים לנקודה סימן שמדובר באסימפטוטה.
- אם ערך
קטן (כלומר מתכנס לנקודה) ככל שמתקרבים לנקודה סימן שמדובר בחור. פרט למצבים בהם הפונקציה אינה מוגדרת בצדו האחד של התום וגדלה בצדו השני (ר/ דוגמה שיחה שאלה 1)
|
אופקית
|
פתרון אפשרי באמצעות הדרך הקצרה והארוכה כאחד. נדגים את הדרך הארוכה באמצעות הפונקציה
- נמצא את הערכים בהם
כלומר באמצעות פתירת אי-שוויון ממעלה שניה (הפתרון )
- נחלק את הפונקציה בנעלם עם החזקה הגדולה
![{\displaystyle y=2+{\dfrac {\dfrac {4x}{x}}{\dfrac {\sqrt {x^{2}-9}}{x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad9c3842d7b3a05cb9c6f060f9380a18e8022911)
- נבדוק עבור התחום
(בהם ערכי חיוביים כלומר נציב )
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left[2+{\frac {4x}{\sqrt {x^{2}-9}}}\right]=\lim _{x\to \infty }\left[2+{\dfrac {\dfrac {4x}{x}}{\dfrac {\sqrt {x^{2}-9}}{x}}}\right]=\lim _{x\to \infty }\left[2+{\dfrac {4}{\sqrt {1-{\dfrac {9}{x^{2}}}}}}\right]=2-{\frac {4}{\sqrt {1-0}}}=6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95571c8b955bfa72fc9522e282234c84c0fb3ba)
- נבדוק עבור התחום
(בהם ערכי שליליים כלומר נציב )
- נכניס את הנעלם לשורש, מאחר והוא שלילי עלינו להשאיר מינוס בחוץ
![{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\left[2+{\frac {4x}{\sqrt {x^{2}-9}}}\right]=\lim _{x\to -\infty }\left[2+{\dfrac {\dfrac {4x}{x}}{\dfrac {\sqrt {x^{2}-9}}{x}}}\right]=\lim _{x\to -\infty }\left[2-{\dfrac {4}{\sqrt {1-{\dfrac {9}{x^{2}}}}}}\right]=2-{\frac {4}{\sqrt {1-0}}}=-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd85c4e4d125cb76a252469da7ed8f02c3613c1)
- האסימפטוטות לפונקציה בתחום
היא ועבור היא ![{\displaystyle x=-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f3fcffdbfac20f62b54d9d9dca69c3f5ac1c871)
- נבדוק כי האסימפטוטות אינן נחתכות עם הפונקציה על-ידי הצבת ערכיהן בפונקציה
|
תחומי עליה וירידה
|
נעזר בטבלה בה נציב:
- נקודות הקיצון החשודות על-פי סדר עולה ואת נקודות תחום ההגדרה.
- נוסיף מספרים לפני ואחריה הנקודות החשודות.
- נציב בנגזרת את המספרים הנבחרים. כאשר:
- ערכי הנגזרת
חיוביים - הפונקציה עולה.
- ערכי הנגזרת שלילים - הפונקציה יורדת.
- נרשום מי הן מבין הנקודות הן נקודות מינימום, מקסימום, פיתול וכו'.
- נמצא תחומי עליה וירידה
|
תחום שלילי וחיובי
|
הפונקציה אינה יכולה לקבל ערכים שלילים בשל השורש (אלא אם יש חזקה).
|