מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה

תחום הגדרה

ל-$x_{3}$ יש שני טווחים ולכן היחס בין שלושת האברים אינו מייצג פונקציה

בפרק הפונקציה דנו בהרחבה על מושג הגדרת הפונקציה על פיו פונקציה היא כלל (תנאי) המתאים לכל אבר בקבוצת התחום איבר אחד ויחיד מקבוצת הטווח. במילים אחרות, עבור כל ערך $x$ (תחום) קיים ערך $y$ (טווח) אחד ויחיד בלבד אותו הפונקציה מחזירה.

אם כן, פונקציה לא תתממש כאשר יהיו שני ערכי $y$ עבור אותו $x$ .

בייצוג גראפי "אי-פונקציה", יחסים בין אברים להם ערך $x$ זהה לשני ערכי $y$ שונים, היא ישר העובר דרך נקודה ומקביל לציר $y$ .

פונקציות שונות בעלות תחומי הגדרה שונים

כאמור קיים מגוון רחב של פונקציות. לסוגים דומים של פונקציות קיימים תחומים בהם הפונקציה אינה יכולה להתממש.

חלק מהפונקציות יכולות להתקיים לכל $x$ (כמו למשל פונקציה ישרה). לחלק מהפונקציות, קיימים ערכים שבהן אינן יכולות להתקיים. לדוגמא, פונקציה רציונלית (פונקצית שבר) אינה יכולה להתממש כאשר המכנה שלה שווה 0.

במהלך הפרקים העוסקים בחקירה של פונקציות נציג עבור כל פונקציה את תחום ההגדרה שלה.

תכונות הפונקציה

כל פונקציה צריכה לענות על תכונות מסוימות בכדי שתתקיים:

1. פונקציה חזקה היא פונקציה אשר אחד מאביריה בעל חזקה גדולה, שווה או קטנה ל-0.
2. פונקציה לינארית היא מקרה ספציפי של פונקצית חזקה. תחום ההגדרה של פונקציה ישרה היא אבר ממעלה ראשונה.
3. תחום ההגדרה של פונקצית ריבועית, גם היא מקרה ספציפי של פונקצית חזקה, הוא $n$ . במילים אחרות, אם ברצונו לכתוב פונקצית חזקה עלינו להוסיף לפחות לאחד מאברי הפונקציה חזקה הגדולה מ-0. אם לא נבצע זאת נקבל פונקציה אחרת (כמו למשל פונקציה לינארית, כאשר $n=0$).

הערכים בהם פונקציה מייצגת סוג מסוים של פונקציה אינו תחום ההגדרה שלה.

סיכום תחומי ההגדרה לפונקציות שונות

פונקציה	תחום הגדרה
פולינום	$\left\{x\in \mathbb {R} \right\}$
${\frac {h(x)}{g(x)}}$	$\left\{x\in \mathbb {R} \;|\;g(x)\neq 0)\right\}$
${\sqrt {g(x)}}$	$\left\{x\in \mathbb {R} \;|\;g(x)\geq 0\right\}$
$log_{a}(g(x))$	$\left\{x,a\in \mathbb {R} \;|\;a>0,\;a\neq 1,\;g(x)>0\right\}$
$a^{g(x)}$	$\left\{x,a\in \mathbb {R} \;|\;a>0\right\}$
$sin(x),\;cos(x)$	$\left\{x\in \mathbb {R} \right\}$

חשיבות בדיקת תחום ההגדרה

חשוב לבדוק את תחום ההגדרה בכל תרגיל גם אם לא התבקשנו מפני שהוא יכול לשלול עבורנו תשובות עבור פתרונות אחרים בחקירה. לדוגמה, בשאלה כאן התבקשנו למצוא את נקודת הקיצון עבור הפונקציה $f(x)={\frac {x^{2}-x-3}{(x-1)^{2}}}$ , לו לא היינו בודקים את תחום ההגדרה $x\neq 1$ היינו מקבלים כי נקודת הקיצון לכאורה שווה 1.