מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקצית חזקה

פונקציה חזקה בשילוב עם כללי גזירה פונקציה המוכפלת במספר קבוע ומכפלת פונקציות

תבנית $y=ax^{n}$ ($n$ הוא מספר טבעי) שימו לב! אנו משלבים את כללי הגזירה (פונקציה המוכפלת במספר קבוע, סכום של פונקציות, הפרש של פונקציות ומכפלת פונקצית) עם חוקי הגזירה של פונקציות. ההנחה היא שפרט להבנה אין משמעות פרקטית לכללי הגזירה ותרגול הנושא הוא בזבוז זמן. לכן התבנית לעיל היא שילוב של כלל הגזירה פונקציה המוכפלת במספר קבוע עם נגזרת של פונקצית חזקה שבפועל מגלמת בתוכה את כלל הגזירה של מכפלת פונקצית. הרי ברוב הפעמים פונקציה חזקה היא למעשה מכפלה של פונקציות. לדוגמא, ניתן לגזור את הפונקציה $y=2x*x^{2}$ על פי כלל הגזירה של מכפלת פונקציות $(f(x)*g(x))'=f('x)*g(x)+f(x)*g'(x)$ כלומר $y'=2*x^{2}+2x*2x=2x^{2}+4x^{2}$ ולהעזר בכלל של סכום פונקציות ולקבל $y'=6x^{2}$. לחילופין, על פי דרכנו ניתן פשוט לקצר את התהליך באמצעות כפילה וצמצום מראש כך שתראה בצורה $y=ax^{n}$ דהינו נגזור את הפונקציה $y=3x^{2}$ ונקבל $y'=6x$. מקרים ספציפיים עד כה למדנו מקרים מיוחדים של פונקציית חזקה: פונקציה ריבועית : $y=x^{2}$ פונקציה קבועה - פונקציה בחזקת אפס : $y=x^{0}$ פונקציה ממעלה ראשונה פונקציה אי-זוגית פונקציה זוגית פונקציה חזקה פשוטה היא פונקציה המורכבת מאבר אחד בעל חזקה, לדוגמה $y=x^{2},x^{3},2x^{4}$. תחום הגדרה ותנאים מקדמים מעריך גדולה מאפס ושלם ($n>0$) - על המעריך של החזקה להיות מספר טבעי (גדול ושלם מאפס). מבחינת החקירה אין אנו צריכים להגדיר את סוג הפונקציה אותה אנו חוקרים (כלומר אם זו פונקצית חזקה או פונקצית שורש) ולכן אין צורך לבצע סעיף זה. סוגי הפונקציות שעומדות לפנינו חשובות לנו רק עבור פעולת הנגזרת. מעריך שלילי אינו פונקצית חזקה: כאשר $n>0$ מדובר על פונקציה פונקציה רציונאלית ($y=x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}$) ולכן הגזירה שלו תתבצע על פי הכלל : $a^{-1}={\frac {1}{a}}\,$. חיתוך עם הצירים חיתוך עם ציר $x$ נציב $y=0$ ונפתור משוואה בנעלם אחד חיתוך עם ציר $y$ הצבה $x=0$. פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים : חיתוך עם ציר $y$ - פתרון יחיד. אין חיתוך עם ציר $y$ - משוואה לא הגיונית, כמו למשל $2=0$. נקודות קיצון גזירת הפונקציה. נגזרת של פונקצית חזקה : $ax^{n}=nax^{n-1}$ מציאת ערכי $x$ של הנקודות - השוואה לאפס ($\ f'(x)=0$). מציאת ערכי $y$ של הנקודות- את ערכי ה-y נמצא על ידי הצבת ערכי ה$x$ במשוואה הפונקציה המקורית. נקודות פיתול השלבים למציאת נקודת פיתול זהים לשלבים של מציאת נקודת קיצון: נבצע גזירה על פי כללי גזירת פונקצית חזקה : $ax^{n}=nax^{n-1}$ נשווה נגזרת לאפס. נפתור את המשוואה. נגלה את סוג הנקודה באמצעות טבלה - בניגוד לנקודת קיצון (שיש עליה וירידה או להפך), עבור נקודת פיתול, הפונקציה "תעלה ותעלה" או "תרד ותרד". אסימפטוטות אסימפטוטה אנכית לציר $x$ פישוט הפונקציה ככל הניתן (למניעת אפשרות לחור). בדיקת תחום הגדרה. אסימפטוטה אנכית היא כל אותן נקודות המופיעות בתחום ההגדרה. אסימפטוטה אופקית מציאת ערך ה-$x$ הגדול ביותר בפונקציה. שלושת המצבים : $y=0$ (מתלכדת עם ציר ה-$x$ בגרף)- כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במכנה (מספר קטן חלקי מספר גדול שווה לכמו אפס). אין אסימפטוטה המקבילה לציר $x$-כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במונה. במקרה כזה המכנה הופך להיות לכמו אפס. חלוקה לאפס אינה חוקית, ולכן אין אסימפטוטה אופקית. אסיפטוטה $y$ היא ערך מקדמי ה-$x$ הגבוה - אם גם במונה וגם במכנה קיים איבר המכיל את x ברמה הגבוהה שנבחרה, הרי שאחרי הצמצום יישארו רק המקדמים של האיברים, ומנתם תהיה ערך האסימפטוטה האופקית. רשימת הערכים בהם : $\lim _{X\to \infty }$. $\lim _{X\to -\infty }$. בדיקת נקודת חיתוך - הצבת הפתרונות $y$ אסימפטוטת בפונקציה. תחומי עליה וירידה פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה. תחום שלילי וחיובי פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.