על פי נוסחת המעגל הקנוני x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} . הראנו בפרקים של הגדרה פשוטה של פונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה כי פונקצית הסינוס מייצג את ציר ה- x {\displaystyle x} ואילו פונקצית הסינוס את ציר ה- y {\displaystyle y} לכן נוכל להציב במשוואה את הערכים ולקבל את הזהות, cos 2 + sin 2 = 1 {\displaystyle \cos ^{2}+\sin ^{2}=1}
sin 2 α + cos 2 α = 1 sin α = a c ( sin α ) 2 = ( a c ) 2 = a 2 c 2 cos α = b c ↓ ( cos α ) 2 = ( b c ) 2 = b 2 c 2 ( sin α ) 2 + ( cos α ) 2 = a 2 c 2 + b 2 c 2 = a 2 + b 2 c 2 ↓ a 2 + b 2 = c 2 ( sin α ) 2 + ( cos α ) 2 = c 2 c 2 = 1 sin 2 α = ( sin α ) 2 ↓ sin 2 α + cos 2 α = 1 o r cos 2 α = 1 − sin 2 α o r sin 2 α = 1 − cos 2 α {\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\\\sin \alpha ={\frac {a}{c}}\\(\sin \alpha )^{2}=({\frac {a}{c}})^{2}={\frac {a^{2}}{c^{2}}}\\\cos \alpha ={\frac {b}{c}}\\\downarrow \\(\cos \alpha )^{2}=({\frac {b}{c}})^{2}={\frac {b^{2}}{c^{2}}}\\(\sin \alpha )^{2}+(\cos \alpha )^{2}={\frac {a^{2}}{c^{2}}}+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}\\\downarrow \\a^{2}+b^{2}=c^{2}\\(\sin \alpha )^{2}+(\cos \alpha )^{2}={\frac {c^{2}}{c^{2}}}=1\\\sin ^{2}\alpha =(\sin \alpha )^{2}\\\downarrow \\\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\\or\\\cos ^{2}\alpha =1-\sin ^{2}\alpha \\or\\\sin ^{2}\alpha =1-\cos ^{2}\alpha \\\end{aligned}}}
