מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/משוואות טריגונומטריות/פתיחת המשוואה/משוואה מהצורה : asin(mx)+bcos(mx)=c

משוואה מהצורה: $a\sin(mx)+b\cos(mx)=c$ בפרק זה נלמד לפתרון משוואה $a\sin(mx)+b\cos(mx)=c$ . שימו לב, המשוואה שמוצגת היא לאחר העברת אגפים וסידור המשוואה, עם זאת, לא מחייב שכך תראה בתחילת התרגיל, לכן נזכור את גורמי המשוואה: פונקציית סינוס. פונקציית קוסינוס. פרמטר מספרי. בכל פעם שנתקל בשלב בו שלושת הגורמים, נקח בחשבון שניתן לפתור את המשוואה בדרך הבא שתוצג. עוד צורות של הפונקציה : $\sin ^{2}(x)+t\cdot \sin(x)\cos(x)-t\cdot \cos ^{2}(x)=0$ $\sin(x)=\tan(x)$ שלבי פתרון זיהוי משוואה וסידור המשוואה. חילוק ב- $a$ (אפשר לחלק גם במקדם $b$ , על-פי תוכנית הלימודים אין צורך לדעת פעולה זאת, על אף שאין הבדלים באופן הפתרון). מוציאים את הזוית המתאימה למקדם ${\frac {b}{a}}$ על-ידי הפעולה $\arctan \left({\tfrac {b}{a}}\right)$. מציבים את הזוית המתאימה לפונקצית הטנגנס במקום המקדם. פותחים את הפונקציה באמצעות הזהות ${\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}=\tan(\alpha )$. כופלים במכנה את אברי המשוואה. נעזרים באחת מזהויות סכום והפרש זויות עבור אחד האגפים, בכדי שבמשוואה תופיע פונקציה טריגונומטרית מסוג אחד. נעדיף להשתמש בפונקצית סינוס על-פני קוסינוס. בשלב זה אנו ממשיכים אל $c$ . יתכן כי הוא יהיה מורכב מפועלת כפל של מספר עם פונקציה טריגונומטרית, לכן, תחילה נהפוך את ה- $c$ לאבר מספרי בלבד, על-ידי הכפלתו בפונקציה. נמצא את הזוית המתאימה לפתרון המספרי (הפונקציה - בהתאם לצדה השני של המשוואה) על-ידי פעולת ${\mbox{arc}}$ עתה אפשר לפתור את התרגיל על-פי חילוק בפונקציה טריגונומטרית הערה: אם במשוואה מופיעה הפונקציה $\tan$ נהפוך את המשוואה לזהות $\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$ . דוגמא פתור את המשוואה הטריגונומטרית $\tan(x)+\sin(x)=2\tan(x)\sin(x)$ בתחום $0^{\circ }\leq x\leq 100^{\circ }$ באמצעות המשוואה $a\sin(mx)+b\cos(mx)=c$ פתרון בתרגיל מופיעה לנו כבר הפונקציה $\tan$ ולכן נעזר בזהות $\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$ . ${\begin{aligned}&\tan(x)+\sin(x)=2\tan(x)\sin(x)\\&{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}+\sin(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\cdot \sin(x)\\&\sin(x)+\sin(x)\cos(x)=2\sin ^{2}(x)\\&\sin(x)+\sin(x)\cos(x)-2\sin ^{2}(x)=0\\&\sin(x){\bigl (}1+\cos(x)-2\sin(x){\bigr )}=0\\\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}&1+\cos(x)-2\sin(x)=0/-1\\&-2\sin(x)+\cos(x)=-1/:(-1)\\&2\sin(x)-\cos(x)=1/:a=2\\&\sin(x)-{\frac {\cos(x)}{2}}={\frac {1}{2}}\\&{\begin{cases}\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)=\arctan \left({\frac {-1}{2}}\right)\\\alpha =-26.56^{\circ }\end{cases}}\\&\sin(x)-\tan(26.56^{\circ })\cos(x)={\frac {1}{2}}\\&\sin(x)-{\frac {\sin(26.56^{\circ })}{\cos(26.56^{\circ })}}\cos(x)={\frac {1}{2}}/\cdot \cos(26.56^{\circ })\\&\cos(26.56^{\circ })\sin(x)-\sin(26.56^{\circ })\cos(x)={\frac {\cos(26.56)}{2}}\\&{\begin{cases}\color {blue}\color {blue}\sin(\alpha \pm \beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )\pm \cos(\alpha )\sin(\beta )\\\color {blue}{\frac {\cos(26.56^{\circ })}{2}}=0.45\end{cases}}\\&\sin(x-26.56^{\circ })=0.45\\&\color {blue}\arcsin(0.45)\ \Rightarrow \ \sin(26.74^{\circ })\\&\sin(x-26.56^{\circ })=\sin(26.74^{\circ })/:\sin \\&x-26.56^{\circ }=26.74^{\circ }\\&{\begin{cases}x_{2}-26.56^{\circ }=26.74^{\circ }+360^{\circ }k\\x_{2}=56.12^{\circ }+360^{\circ }k\\x_{3}-26.56^{\circ }=(180^{\circ }-26.56^{\circ })+360^{\circ }k\\x_{3}=126.88^{\circ }+360^{\circ }k\end{cases}}\\\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}&\sin(x)=0\\&x_{1}=180^{\circ }k\end{aligned}}$ $1$ $0$ $-1$ $k$ $150^{\circ }$ $0^{\circ }$ $-180^{\circ }$ $x_{1}$ $416.12^{\circ }$ $56.12^{\circ }$ $-303.88^{\circ }$ $x_{2}$ $486.88^{\circ }$ $126.88^{\circ }$ $-233.12^{\circ }$ $x_{3}$ בתחום $0^{\circ }\leq x\leq 100^{\circ }$ הזוויות המתאימות הן $0^{\circ }\ ,\ 56.12^{\circ }$ תרגול פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.