אינטרפולציה היא מציאת קירוב לערך הפונקציה בין שתי נקודות נתונות. מעתה והלאה נניח, כמו מקודם, כי המרחקים על ציר x בין כל שתי נקודות סמוכות הוא h. לכן כל נקודה ניתן לייצוג על ידי
x
i
+
θ
h
{\displaystyle \ x_{i}+\theta h}
0
≤
θ
≤
1
{\displaystyle \ 0\leq \theta \leq 1}
אינטרפולציה באמצעות הפרשים קידמיים
עריכה
נשתמש באופרטורים אשר פיתחנו קודם על מנת לייצג נקודות שאין לנו מידע עבורן. ניעזר בקשר
E
=
1
+
Δ
{\displaystyle \ E=1+\Delta }
f
(
x
+
θ
h
)
=
E
θ
f
(
x
)
=
(
1
+
Δ
)
θ
f
(
x
)
=
[
1
+
θ
Δ
+
θ
(
θ
−
1
)
2
!
Δ
2
+
θ
(
θ
−
1
)
(
θ
−
2
)
3
!
Δ
3
+
.
.
.
]
f
(
x
)
{\displaystyle \ f(x+\theta h)=E^{\theta }f(x)=(1+\Delta )^{\theta }f(x)=\left[1+\theta \Delta +{\theta (\theta -1) \over 2!}\Delta ^{2}+{\theta (\theta -1)(\theta -2) \over 3!}\Delta ^{3}+...\right]f(x)}
קיבלנו טור אינסופי, אך אותנו מעניינות תוצאות מעשיות. לכן נבחן את שני הקירובים הראשונים בלבד.
קירוב לינארי
עריכה
f
(
x
+
θ
h
)
≈
[
1
+
θ
Δ
]
f
(
x
)
=
f
(
x
)
+
θ
[
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
]
{\displaystyle \ f(x+\theta h)\approx [1+\theta \Delta ]f(x)=f(x)+\theta [f(x+h)-f(x)]}
קירוב זה טוב כאשר לפונקציה התנהגות מקומית מקורבת של קו ישר.
קירוב ריבועי
עריכה
f
(
x
+
θ
h
)
≈
[
1
+
θ
Δ
+
θ
(
θ
−
1
)
2
!
Δ
2
]
f
(
x
)
=
f
(
x
)
+
θ
[
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
]
+
θ
(
θ
−
1
)
2
!
[
f
(
x
+
2
h
)
−
2
f
(
x
+
h
)
+
f
(
x
)
]
{\displaystyle \ f(x+\theta h)\approx \left[1+\theta \Delta +{\theta (\theta -1) \over 2!}\Delta ^{2}\right]f(x)=f(x)+\theta [f(x+h)-f(x)]+{\theta (\theta -1) \over 2!}[f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)]}
קירוב זה טוב כאשר לפונקציה התנהגות מקומית מקורבת של פרבולה.
נשים לב כי עבור θ=0,1 נקבל חזרה את ערכי הפונקציה המקוריים. כללית: ע"י k נקודות ידועות נוכל לבנות שיטה מסדר k אשר תתן תוצאות מדויקות באותן נקודות ידועות, אך מכיוון שאנו מאלצים על פולינום מדרגה גבוהה לעבור דרך נקודות נתונות, הדיוק עלול להינזק.
הערכת השגיאה: נמצא קשר בין אופרטור הפרשים קדמיים לאופרטור הגזירה על מנת לבטא את השגיאה:
D
f
(
x
i
)
=
f
′
(
x
i
)
=
f
(
x
i
+
1
)
−
f
(
x
i
)
h
=
Δ
h
f
(
x
i
)
⇒
f
‴
(
x
i
)
=
(
Δ
h
)
3
f
(
x
i
)
{\displaystyle \ Df(x_{i})=f'(x_{i})={\frac {f(x_{i+1})-f(x_{i})}{h}}={\frac {\Delta }{h}}f(x_{i})\quad \Rightarrow \ f'''(x_{i})=\left({\frac {\Delta }{h}}\right)^{3}f(x_{i})}
השארית מיוצגת ע"י האיבר הראשון בטור שהזנחנו, ולכן על ידי העבר אגפים פשוטה בקשר שקיבלנו ושימוש במשפט לגראנז' נותנים:
R
=
(
θ
(
θ
−
1
)
(
θ
−
2
)
3
!
Δ
3
)
f
(
x
i
)
≈
h
3
θ
(
θ
−
1
)
(
θ
−
2
)
3
!
f
‴
(
c
)
{\displaystyle \ R=\left({\theta (\theta -1)(\theta -2) \over 3!}\Delta ^{3}\right)f(x_{i})\approx {\frac {h^{3}\theta (\theta -1)(\theta -2)}{3!}}f'''(c)}
באופן דומה ניתן לפתח נוסחאות לאינטרפולציה באמצעות הפרשים אחוריים והפרשים מרכזיים.
אינטרפולציה באמצעות הפרשים אחוריים
עריכה
ניעזר בקשר
E
=
(
1
+
∇
)
−
1
{\displaystyle \ E=(1+\nabla )^{-1}}
f
(
x
+
θ
h
)
=
E
θ
f
(
x
)
=
(
1
−
∇
)
−
θ
f
(
x
)
=
[
1
+
θ
∇
+
θ
(
θ
+
1
)
2
!
∇
2
+
θ
(
θ
+
1
)
(
θ
+
2
)
3
!
∇
3
+
.
.
.
]
f
(
x
)
{\displaystyle \ f(x+\theta h)=E^{\theta }f(x)=(1-\nabla )^{-\theta }f(x)=\left[1+\theta \nabla +{\theta (\theta +1) \over 2!}\nabla ^{2}+{\theta (\theta +1)(\theta +2) \over 3!}\nabla ^{3}+...\right]f(x)}
קיבלנו טור אינסופי, אך אותנו מעניינות תוצאות מעשיות. לכן נבחן את שני הקירובים הראשונים בלבד.
קירוב לינארי
עריכה
f
(
x
+
θ
h
)
≈
[
1
+
θ
∇
]
f
(
x
)
=
f
(
x
)
+
θ
[
f
(
x
)
−
f
(
x
−
h
)
]
{\displaystyle \ f(x+\theta h)\approx [1+\theta \nabla ]f(x)=f(x)+\theta [f(x)-f(x-h)]}
קירוב זה טוב כאשר לפונקציה התנהגות מקומית מקורבת של קו ישר.
קירוב ריבועי
עריכה
אינטרפולציה באמצעות הפרשים מרכזיים
עריכה
![{\displaystyle \ f(x+\theta h)=E^{\theta }f(x)=(1+\Delta )^{\theta }f(x)=\left[1+\theta \Delta +{\theta (\theta -1) \over 2!}\Delta ^{2}+{\theta (\theta -1)(\theta -2) \over 3!}\Delta ^{3}+...\right]f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb84ff3d9341d7558ddb74b8086265450485148)
![{\displaystyle \ f(x+\theta h)\approx [1+\theta \Delta ]f(x)=f(x)+\theta [f(x+h)-f(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c307075df07fa58f9855c97cf99b92229183a675)
![{\displaystyle \ f(x+\theta h)\approx \left[1+\theta \Delta +{\theta (\theta -1) \over 2!}\Delta ^{2}\right]f(x)=f(x)+\theta [f(x+h)-f(x)]+{\theta (\theta -1) \over 2!}[f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c846ca05189f95327a4b3c6caf2eedeb22795f8)
![{\displaystyle \ f(x+\theta h)=E^{\theta }f(x)=(1-\nabla )^{-\theta }f(x)=\left[1+\theta \nabla +{\theta (\theta +1) \over 2!}\nabla ^{2}+{\theta (\theta +1)(\theta +2) \over 3!}\nabla ^{3}+...\right]f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2095ced26d191e1b8fe7a3e86ec0d5c3e3f98ac)
![{\displaystyle \ f(x+\theta h)\approx [1+\theta \nabla ]f(x)=f(x)+\theta [f(x)-f(x-h)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5e409252579b6a8a76d1a24842d7b1e8b764ee7)