שיטת Aitken
עריכה
נעשה שימוש בשיטת איטקן כאשר רוצים להאיץ התכנסות לינארית. למשל כאשר ישנו שורש כפול, שיטת ניוטון-רפסון מתנוונת לסדר ראשון, ולכן נעדיף להשתמש בשיטה זו.
x
n
+
1
=
g
(
x
n
)
{\displaystyle \ x_{n+1}=g(x_{n})}
g
′
(
α
)
≠
0
{\displaystyle \ g'(\alpha )\neq 0}
α
≈
x
n
x
n
+
2
−
x
n
+
1
2
x
n
+
2
−
2
x
n
+
1
+
x
n
{\displaystyle \ \alpha \approx {\frac {x_{n}x_{n+2}-x_{n+1}^{2}}{x_{n+2}-2x_{n+1}+x_{n}}}}
נשתמש בקשר
x
n
≈
α
+
ϵ
0
[
g
′
(
α
)
]
n
{\displaystyle \ x_{n}\approx \alpha +\epsilon _{0}[g'(\alpha )]^{n}}
(
α
+
ϵ
0
[
g
′
(
α
)
]
n
)
(
α
+
ϵ
0
[
g
′
(
α
)
]
n
+
2
)
−
(
α
+
ϵ
0
[
g
′
(
α
)
]
n
+
1
)
2
α
+
ϵ
0
[
g
′
(
α
)
]
n
+
2
−
2
(
α
+
ϵ
0
[
g
′
(
α
)
]
n
+
1
)
+
α
+
ϵ
0
[
g
′
(
α
)
]
n
=
α
[
g
′
(
α
)
]
n
(
1
−
2
g
′
(
α
)
+
[
g
′
(
α
)
]
2
)
[
g
′
(
α
)
]
n
(
1
−
2
g
′
(
α
)
+
[
g
′
(
α
)
]
2
)
=
α
{\displaystyle \ {\frac {(\alpha +\epsilon _{0}[g'(\alpha )]^{n})(\alpha +\epsilon _{0}[g'(\alpha )]^{n+2})-(\alpha +\epsilon _{0}[g'(\alpha )]^{n+1})^{2}}{\alpha +\epsilon _{0}[g'(\alpha )]^{n+2}-2(\alpha +\epsilon _{0}[g'(\alpha )]^{n+1})+\alpha +\epsilon _{0}[g'(\alpha )]^{n}}}={\frac {\alpha [g'(\alpha )]^{n}(1-2g'(\alpha )+[g'(\alpha )]^{2})}{[g'(\alpha )]^{n}(1-2g'(\alpha )+[g'(\alpha )]^{2})}}=\alpha }
שיטת איטקן:
x
n
+
3
=
x
n
x
n
+
2
−
x
n
+
1
2
x
n
+
2
−
2
x
n
+
1
+
x
n
{\displaystyle \ x_{n+3}={\frac {x_{n}x_{n+2}-x_{n+1}^{2}}{x_{n+2}-2x_{n+1}+x_{n}}}}
נהוג לכתוב שיטה זו גם בצורת הפרשים קדמיים:
x
n
+
3
=
x
n
−
(
Δ
x
n
)
2
Δ
2
x
n
;
{
Δ
x
n
=
x
n
+
1
−
x
n
Δ
2
x
n
=
x
n
+
2
−
2
x
n
+
1
+
x
n
{\displaystyle \ x_{n+3}=x_{n}-{\frac {(\Delta x_{n})^{2}}{\Delta ^{2}x_{n}}}\quad ;\quad \left\{{\begin{aligned}\Delta x_{n}&=x_{n+1}-x_{n}\\\Delta ^{2}x_{n}&=x_{n+2}-2x_{n+1}+x_{n}\\\end{aligned}}\right.}
כאשר את שלושת הנקודות הראשונות יש לקבל באמצעות שיטה חד צעדית כלשהי.
קישורים חיצוניים
עריכה
![{\displaystyle \ x_{n}\approx \alpha +\epsilon _{0}[g'(\alpha )]^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71babc765def313cd31bbf3d21dd9ec9edf68a77)
![{\displaystyle \ {\frac {(\alpha +\epsilon _{0}[g'(\alpha )]^{n})(\alpha +\epsilon _{0}[g'(\alpha )]^{n+2})-(\alpha +\epsilon _{0}[g'(\alpha )]^{n+1})^{2}}{\alpha +\epsilon _{0}[g'(\alpha )]^{n+2}-2(\alpha +\epsilon _{0}[g'(\alpha )]^{n+1})+\alpha +\epsilon _{0}[g'(\alpha )]^{n}}}={\frac {\alpha [g'(\alpha )]^{n}(1-2g'(\alpha )+[g'(\alpha )]^{2})}{[g'(\alpha )]^{n}(1-2g'(\alpha )+[g'(\alpha )]^{2})}}=\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60052ba55a0cb691f7516066170d59bc5bf7e42c)
