אנליזה נומרית/מבוא

לבעיות מתמטיות יש שלושה סוגי פתרונות: פתרון אנליטי מדויק (המתקבל על-ידי סדרה של פעולות אלגבריות וכדומה), פתרון אנליטי מקורב (המתקבל עקב הזנחה מסוימת אשר מפשטת את החישוב ומאפשרת פתרון אנליטי מדויק) ופתרון נומרי, אשר ברוב המוחלט של המקרים הוא מקורב.

שיטות נומריות הן בעצם ההפך משיטות אנליטיות. המתמטיקאים מצאו פתרונות אנליטיים למספר מוגבל של משוואות. לדוגמה:

• שורש משוואת הקו הישר: $\ ax+b=0$ נתון על-ידי: $x=-{\frac {b}{a}}$ .
• שורשי המשוואה הריבועית: $ax^{2}+bx+c=0$ נתונים על-ידי: $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$
• שורשי פולינום כללי ממעלה $n$ יתקבלו על ידי סדרה של "ניחוש אינטילגנטי" וחלוקת הפולינום, עד קבלת פולינום בצורת מכפלה של גורמים לינאריים, אשר יתנו את הפתרון (זאת במידה והפולינום התחלק ללא שארית).

כאמור, לרוב לא ניתן יהיה למצוא פתרון ישיר. למשל: חישוב זווית התיקון של מטוס נוסעים כאשר הוא מוסט על-ידי רוח צדדית. משוואת תנועה של מטוס אינה ניתנת לפיתרון אנליטי וכאן נכנסים לתמונה הקירובים הנומריים.

תוכנית מחשב המספקת פתרון למשוואות צריכה להודיע למשתמש עד איזה דיוק התבצע החישוב ולבצע את החישוב ביעילות המרבית.

ברוב המוחלט של הבעיות נתעניין בפתרונות ממשיים בלבד, ונניח כי הפונקציות "שפויות" ולא קופצות, כלומר שלפונקציה אשר פותרים יש נגזרת רציפה.

פתרון נומרי לעומת פתרון ידני

אם נבקש מן המחשבון לחשב את שורשי המשוואה הריבועית $x^{2}-x-1$ , נקבל את התשובות:$x_{1}=1.618033989,x_{2}=-0.618033988$. אלה אינם פתרונות מדוייקים אלא קירובים לשורשי המשוואה האמיתיים, אשר ניתן לחשבם באמצעות הנוסחה לעיל: $x_{1}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},x_{2}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$ . הסיבה לכך היא שיצוג המספרים במחשבון הוא דיגיטלי, ויש כמות מוגבלת של ספרות (סיביות) בהן המחשבון מטפל. אם כן, בעיה נוספת שעומדת לפנינו היא אופן ייצוג המספרים במחשב אשר מוסיפה אף היא שגיאה לחישוב.

כיום המחשבונים מספיק מתוחכמים כדי לא "לאבד" מידע על המספר (כגון שורש), ותוכנות כמו MATLAB, Mathemtica, Maple, Maxima, Octave ועוד, מסוגלות להציג מאות ספרות אחרי הנקודה העשרונית תוך שימוש בשיטות נומריות שונות, אך בעיקרו של דבר, משתנים במחשב אינם בעלי גודל בלתי מוגבל, ועל מנת לתת את הדיוק אשר תוכנות אלו מציעות, ייצוג המספרים הוא מורכב יותר, ולא נדון על כך כאן.

ראו גם

• אנליזה נומרית/שגיאות

קירובים

נניח כי אנו עוקבים אחרי גרף של פונקציה $f$ עד לחיתוכה עם ציר $x$ , במטרה למצוא שורש - נקרא לו $x_{0}$ , כך שמתקיים $f(x_{0})=0$ . נוכל להגיד כי אנו קרובים לשורש האמיתי כאשר:

1. $|x-x_{0}|$ הוא קטן; או כאשר:
2. $f(x)$ הוא קטן.

קריטריון 1 מתקיים, וקריטריון 2 לא

קריטריון 2 מתקיים, וקריטריון 1 לא

כאן מתעוררת בעיה. אם הפונקציה שואפת אסימפטוטית לציר $x$ אך לא חותכת אותו, הקריטריון השני יגרום להפסקת החיפוש והכרזת ערך מסוים כשורש הפונקציה, למרות שלפונקציה כלל אין שורשים. לעומת זאת, אם לפונקציה שיפוע גדול מאוד בקרבת החיתוך עם ציר $x$ , הקריטריון הראשון יכול לתת ערכים קרובים מאוד לשורש האמיתי למרות שערך הפונקציה באותה נקודה רחוק מ-0.

אם כן, עלינו להיות מודעים באיזה מן הקריטריונים משתמש האלגוריתם שכתבנו, כאשר אנו ניגשים לפתור בעיות בעלות אופי כזה או אחר.

הערות

1. נשים לב כי אין אנו יודעים את השורש, ולכן קריטריון 1 אינו מעשי. מה שקורה בפועל הוא ניסיון להתקרב לשורש (ע"פ קריטריון 1), ובכל שלב בדיקה האם הגענו לקירוב הרצוי (ע"פ קריטריון 2).

כלים מתמטיים באנליזה נומרית - סקירה

משפט לגראנז'

אם הפונקציה $f(x)$ רציפה בקטע $[a,b]$ , אז קיימת נקודה $c\in [a,b]$ כך ש: $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ .

ערך בוויקיפדיה: משפט הערך הממוצע של לגראנז'

טור גאומטרי

בהינתן סדרה מהצורה $a_{n}=a_{0}x^{n}$ , הביטויים עבור הסכום שלה הם:

$\sum _{i=0}^{n}a_{0}x^{i}=a_{0}(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n})=a_{0}{\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}$

$\sum _{i=0}^{\infty }a_{0}x^{i}=a_{0}(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n}+\cdots )={\frac {a_{0}}{1-x}}\ ,\quad \forall 0<|x|<1$

ערך בוויקיפדיה: סדרה הנדסית

טור טיילור

אם הפונקציה $f(x)$ ונגזרותיה רציפות בתחום $[a,a+h]$ וערכיהן ידועים ב- $x=a$ אז ניתן להציג את ערך הפונקציה בסביבה זו על-ידי טור חזקות אינסופי:

$f(a+h)=f(a)+hf'(a)+{\frac {h^{2}}{2!}}f''(a)+{\frac {h^{3}}{3!}}f'''(a)+\cdots$

מאחר שאנו עוסקים בקירובים נומריים, יש לדעת את השגיאה המתקבלת בעת קטיעת הטור:

$f(a+h)=f(a)+hf'(a)+{\frac {h^{2}}{2!}}f''(a)+\cdots +{\frac {h^{n}}{n!}}f^{(n)}(a)+R_{n}$

כאשר $R_{n}={\frac {h^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(a+\theta h)\ ,\ 0<\theta <1$ .

ערך בוויקיפדיה: טור טיילור

טור טיילור דו-ממדי

${f(x+h_{x},y+h_{y})=f(x,y)+\left(h_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+h_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}\right)f(x,y)+{\frac {1}{2!}}\left(h_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+h_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}\right)^{2}f(x,y)+\cdots }$

טורי טיילור שימושיים

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots$

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots$

$\sinh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$

$\cosh(x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots$

${\text{arsinh}}(x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)$

${\text{arcosh}}(x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\ ,\ x\geq 1$

בינום ניוטון - מקרה פרטי

$(1\pm x)^{r}=1\pm rx+r(r-1){\frac {x^{2}}{2!}}\pm r(r-1)(r-2){\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots$

נשים לב כי כאשר $r$ קטן ו- $x<<1$ , אז $(1+x)^{r}\approx 1+rx$ .

ערך בוויקיפדיה: הבינום של ניוטון

תוכנות עזר

• תוכנות מסחריות:
  • מטלאב
  • Mathematica
  • מייפל
• תוכנות חופשיות:
  • אוקטב - תכנה שמטרתה להוות תחליף פתוח לתכנת מטלאב.
  • Maxima
  • R-project - תכנה לחישובים סטטיסטיים ונומריים.
  • הרחבת Numpy לפייתון

-

מבוא

הפרק הבא: שגיאות