שיטות אלו דומות ברעיונן לשיטת ניוטון-רפסון, אך אינן מצריכות שימוש בנגזרת הפונקציה, כך שכאשר הנגזרת היא מסובכת, ניתן להשתמש במיתרים במקום במשיקים. בדומה לניוטון-רפסון, גם כאן ההתכנסות תלויה בבחירת הנקודות ההתחלתיות.
בשיטה זו מתחילים עם שני ניחושים x1 , x2 קרובים, והשיפוע של כל מיתר נתון על ידי:
f
(
x
1
)
−
f
(
x
0
)
x
1
−
x
0
=
f
(
x
n
)
−
0
x
n
−
x
n
+
1
⇒
x
n
+
1
=
x
n
−
f
(
x
n
)
(
x
1
−
x
0
)
f
(
x
1
)
−
f
(
x
0
)
{\displaystyle \ {\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {f(x_{n})-0}{x_{n}-x_{n+1}}}\quad \Rightarrow \quad x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})(x_{1}-x_{0})}{f(x_{1})-f(x_{0})}}}
שיטת המיתר הקבוע נשים לב כי כאשר
|
f
(
x
1
)
−
f
(
x
0
)
|
<<
1
{\displaystyle \ |f(x_{1})-f(x_{0})|<<1}
עריכה
גם כאן מתחילים עם שני ניחושים x1 , x2 , והשיפוע של כל מיתר נתון על ידי:
f
(
x
n
)
−
f
(
x
n
−
1
)
x
n
−
x
n
−
1
=
f
(
x
n
)
−
0
x
n
−
x
n
+
1
⇒
x
n
+
1
=
x
n
−
f
(
x
n
)
x
n
−
x
n
−
1
f
(
x
n
)
−
f
(
x
n
−
1
)
{\displaystyle \ {\frac {f(x_{n})-f(x_{n-1})}{x_{n}-x_{n-1}}}={\frac {f(x_{n})-0}{x_{n}-x_{n+1}}}\quad \Rightarrow \quad x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n}){\frac {x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}}}
ניתן לקבל תוצאה זו גם אם נציב בנוסחת ניוטון-רפסון את שיפוע המיתר במקום שיפוע המשיק.
שיטת המיתר המשתנה נשים לב כי כאשר
|
f
(
x
n
)
−
f
(
x
n
−
1
)
|
<<
1
{\displaystyle \ |f(x_{n})-f(x_{n-1})|<<1}
קוריוז מעניין הוא שסדר האיטרציה הזו הוא בדיוק חיתוך הזהב:
1
+
5
2
≈
1.618
{\displaystyle \ {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618}
עריכה
נשתמש בקשר
x
n
=
ϵ
n
+
α
{\displaystyle \ x_{n}=\epsilon _{n}+\alpha }
ϵ
n
+
1
+
α
=
ϵ
n
+
α
−
[
f
(
α
)
+
ϵ
n
f
′
(
α
)
+
.
.
.
]
(
ϵ
n
+
α
−
ϵ
n
−
1
−
α
)
f
(
α
)
+
ϵ
n
f
′
(
α
)
+
ϵ
n
2
2
f
″
(
α
)
+
.
.
.
−
[
f
(
α
)
+
ϵ
n
−
1
f
′
(
α
)
+
ϵ
n
−
1
2
2
f
″
(
α
)
+
.
.
.
]
{\displaystyle \ \epsilon _{n+1}+\alpha =\epsilon _{n}+\alpha -{\frac {[f(\alpha )+\epsilon _{n}f'(\alpha )+...](\epsilon _{n}+\alpha -\epsilon _{n-1}-\alpha )}{f(\alpha )+\epsilon _{n}f'(\alpha )+{\tfrac {\epsilon _{n}^{2}}{2}}f''(\alpha )+...-[f(\alpha )+\epsilon _{n-1}f'(\alpha )+{\tfrac {\epsilon _{n-1}^{2}}{2}}f''(\alpha )+...]}}}
⇒
ϵ
n
+
1
=
f
″
(
α
)
ϵ
n
ϵ
n
−
1
2
[
f
′
(
α
)
+
1
2
f
″
(
α
)
(
ϵ
n
+
ϵ
n
−
1
)
]
≈
ϵ
n
ϵ
n
−
1
f
″
(
α
)
2
f
′
(
α
)
{\displaystyle \ \Rightarrow \quad \epsilon _{n+1}={\frac {f''(\alpha )\epsilon _{n}\epsilon _{n-1}}{2[f'(\alpha )+{\tfrac {1}{2}}f''(\alpha )(\epsilon _{n}+\epsilon _{n-1})]}}\approx \epsilon _{n}\epsilon _{n-1}{\frac {f''(\alpha )}{2f'(\alpha )}}}
או בקיצור:
ϵ
n
=
A
ϵ
n
−
1
ϵ
n
−
2
{\displaystyle \ \epsilon _{n}=A\epsilon _{n-1}\epsilon _{n-2}}
ננסה למצוא את ערכי הקבועים בקשר הפונקציונלי הבא בין שתי שגיאות עוקבות:
ϵ
n
+
1
=
B
ϵ
n
s
⇒
{
ϵ
n
+
1
=
B
ϵ
n
s
ϵ
n
=
B
ϵ
n
−
1
s
{\displaystyle \ \epsilon _{n+1}=B\epsilon _{n}^{s}\quad \Rightarrow {\begin{cases}\epsilon _{n+1}&=B\epsilon _{n}^{s}\\\epsilon _{n}&=B\epsilon _{n-1}^{s}\end{cases}}}
נשתמש בקשר אשר מצאנו מקודם:
ϵ
n
+
1
=
A
ϵ
n
ϵ
n
−
1
=
A
(
B
ϵ
n
−
1
s
)
ϵ
n
−
1
=
A
B
ϵ
n
−
1
s
+
1
ϵ
n
+
1
=
B
ϵ
n
s
=
B
(
B
ϵ
n
−
1
s
)
s
=
B
s
+
1
ϵ
n
−
1
s
2
{\displaystyle \ {\begin{aligned}\epsilon _{n+1}&=A\epsilon _{n}\epsilon _{n-1}=A(B\epsilon _{n-1}^{s})\epsilon _{n-1}=AB\epsilon _{n-1}^{s+1}\\\epsilon _{n+1}&=B\epsilon _{n}^{s}=B(B\epsilon _{n-1}^{s})^{s}=B^{s+1}\epsilon _{n-1}^{s^{2}}\end{aligned}}}
נבצע השוואת מקדמים:
A
B
ϵ
n
−
1
s
+
1
=
B
s
+
1
ϵ
n
−
1
s
2
⇒
{
A
=
B
s
ϵ
n
−
1
s
+
1
=
ϵ
n
−
1
s
2
⇒
s
2
=
s
+
1
,
→
s
=
ϕ
{\displaystyle \ AB\epsilon _{n-1}^{s+1}=B^{s+1}\epsilon _{n-1}^{s^{2}}\quad \Rightarrow {\begin{cases}A&=B^{s}\\\epsilon _{n-1}^{s+1}&=\epsilon _{n-1}^{s^{2}}\end{cases}}\quad \Rightarrow s^{2}=s+1,\ \rightarrow s=\phi }
כאשר
ϕ
=
1
+
5
2
≈
1.618
{\displaystyle \ \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618}
{
s
=
ϕ
≈
1.618
A
=
B
ϕ
{\displaystyle \ {\begin{cases}s=\phi \approx 1.618\\A=B^{\phi }\\\end{cases}}}
ראוי לציין כי האנליזה הנ"ל נכונה רק כאשר הפונקציה f גזירה פעמיים, השורש α הינו שורש בודד, ושני הניחושים ההתחלתיים מספיק קרובים לשורש.
שיטה זו נקראת גם שיטת False Position , והיא ואריאציה של שיטת המיתר המשתנה אשר פועלת לפי שיקולים של שיטת החציה, כך שאם מובטח שבתחום הניחוש נמצא שורש יחיד, התכנסות השיטה מובטחת, אך אנו משלמים בסדר ההתכנסות. אם הפונקציה קרובה לקו ישר באזור השורש, שיטה זו עדיפה על פני שיטת החצייה.
שיטת False Position גם כאן מתחילים עם שני ניחושים x1 , x0 קרובים, אך הפעם הם נמצאים משני צידי השורש, כך שמתקיים:
f
(
x
0
)
⋅
f
(
x
1
)
<
0
{\displaystyle \ f(x_{0})\cdot f(x_{1})<0}
c
=
x
1
−
f
(
x
1
)
(
x
1
−
x
0
)
f
(
x
1
)
−
f
(
x
0
)
{\displaystyle \ c=x_{1}-{\frac {f(x_{1})(x_{1}-x_{0})}{f(x_{1})-f(x_{0})}}}
ההמשך דומה לשיטת חציית האינטרוולים:
אם
f
(
x
0
)
f
(
c
)
>
0
{\displaystyle \ f(x_{0})f(c)>0}
1 ), כלומר בתוכנית המחשב נבצע פעולת השמה: x0 :=c.
אם
f
(
x
0
)
f
(
c
)
<
0
{\displaystyle \ f(x_{0})f(c)<0}
0 ,c), כלומר בתוכנית המחשב נבצע פעולת השמה: x1 :=c.
אם
f
(
x
0
)
f
(
c
)
=
0
{\displaystyle \ f(x_{0})f(c)=0}
}{f(\alpha )+\epsilon _{n}f'(\alpha )+{\tfrac {\epsilon _{n}^{2}}{2}}f''(\alpha )+...-[f(\alpha )+\epsilon _{n-1}f'(\alpha )+{\tfrac {\epsilon _{n-1}^{2}}{2}}f''(\alpha )+...]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57e2e3ad43512b7d2b11169eec1201b34be2d5fb)
![{\displaystyle \ \Rightarrow \quad \epsilon _{n+1}={\frac {f''(\alpha )\epsilon _{n}\epsilon _{n-1}}{2[f'(\alpha )+{\tfrac {1}{2}}f''(\alpha )(\epsilon _{n}+\epsilon _{n-1})]}}\approx \epsilon _{n}\epsilon _{n-1}{\frac {f''(\alpha )}{2f'(\alpha )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee5201c4bd4eeea46f7d4e755129ed70ce315ff8)
