מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציות טריגונומטריות מורכבות (דוגמאות)

בפרק זה נדגים באמצעות תרגילים את הנגזרות של פונקציות טריגונומטריות בכדי לישם את החומר הנלמד.

מורכבות

תרגיל א

מצא את הנגזרת של הפונקציה $f(x)=\sin(3x)$

פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה פונקציה מורכבת ולכן, בכדי לפתור תרגיל זה נעזר בכלל של פונקציה מורכבת: $\ u\cdot v=v'\cdot u\cdot u'$, כלומר, $f(x)'=[\sin(3x)]'\cdot (3x)'$. נגזור את שתי הפונקציות ונקבל את הנגזרת: $f(x)'=\cos(3x)\cdot 3=3\cos(3x)$

תרגיל ג' - רצוי לזכור

מצא את הנגזרת של הפונקציה $f(x)=\sin ^{2}(x)$

פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה פונקציה מורכבת ולכן, בכדי לפתור תרגיל זה נעזר בכלל של פונקציה מורכבת: $\ u\cdot v=v'\cdot u\cdot u'$, כלומר, $f(x)'=([\sin(x)]^{2})'\cdot [\sin(x)]'$. נגזור את שתי הפונקציות ונקבל את הנגזרת: $f(x)'=2\sin(x)\cdot \cos(x)$. על-פי זהות הנגזרת של הפונקציה שווה $f(x)'=\sin(2x)$

תרגיל ד'

מצא את הנגזרת של הפונקציה $f(x)=\cos ^{3}(x)$

פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה פונקציה מורכבת ולכן, בכדי לפתור תרגיל זה נעזר בכלל של פונקציה מורכבת: $\ u\cdot v=v'\cdot u\cdot u'$, כלומר, $f(x)'=([cos(x)]^{3})'\cdot [\cos(x)]'$. נגזור את שתי הפונקציות ונקבל את הנגזרת: $f(x)'=-3\cos ^{2}(x)\cdot \sin(x)$.

תרגיל ה' *

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)=\cos(x^{2}-2x)$

פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה פונקציה מורכבת ולכן, בכדי לפתור תרגיל זה נעזר בכלל של פונקציה מורכבת: $\ u\cdot v=v'\cdot u\cdot u'$, כלומר, $f(x)'=([\cos(x^{2}-2x)])'\cdot (x^{2}-2x)'$. נגזור את שתי הפונקציות ונקבל את הנגזרת: $f(x)'=-\sin(x^{2}-2x)\cdot (2x-2)$.
נשווה את הפונקציה לאפס ונפתור. לפתרון מלא לחץ כאן

עוד תרגילים

1. $3\sin(4x)$
2. $\cos(x^{2})$

פתרונות

1. $3\cos(4x)\cdot 4=12\cos(4x)$
2. $-\sin(x^{2})\cdot 2x$

מכפלה של פונקציות

תרגיל ב'

מצא את הנגזרת של הפונקציה $f(x)=2x\cdot \sin(x)$

פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה מכפלה של פונקציות ולכן, נעזר בכלל של נגזרת של מכפלה: $[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$. נגזור ונקבל את הנגזרת: $f(x)'=2\sin(x)+2x\cdot \cos(x)$

תרגיל ה'-רצוי לזכור

מצא את הנגזרת של הפונקציה $f(x)=\sin(x)\cdot \cos(x)$

פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה מכפלה של פונקציות ולכן, נעזר בכלל של נגזרת של מכפלה: $[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$. נגזור ונקבל את הנגזרת: $f(x)'=\cos(x)\cdot \cos(x)-\sin(x)\cdot \sin(x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)$. על-פי זהות הנגזרת שווה $f(x)'=\cos(2x)$

תרגיל ז'

מצא את הנגזרת של הפונקציה $f(x)={\sqrt {x}}\cdot \sin(x)$

פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה מכפלה של פונקציות ולכן, נעזר בכלל של נגזרת של מכפלה: $[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$. הפונקציה מורכבת מפונקציה טריגונומטרית ופונקציה חזקה (נגזרתה: $({\sqrt {x}})'={\frac {x'}{\cdot }}{2{\sqrt {x}}}$). נגזור ונקבל את הנגזרת: $f(x)'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\cdot \sin(x)+{\sqrt {x}}\cdot \cos(x)={\sqrt {x}}\cdot \left[{\frac {\sin(x)}{2x}}+\cos(x)\right]$.

עוד תרגילים

1. $x\cdot \cos \left({\frac {x}{2}}\right)$

פתרונות

1. בפועל: $f(x)'=(x)'\cdot \cos \left({\frac {x}{2}}\right)+x\cdot \cos \left({\frac {x}{2}}\right)'$ כלומר,

$f(x)'=1\cdot \cos \left({\frac {x}{2}}\right)+x\cdot -\sin \left({\frac {x}{2}}\right)\cdot {\frac {1}{2}}$. שימו לב, הנגזרת של $\left[\cos \left({\frac {x}{2}}\right)\right]'=-\sin \left({\frac {x}{2}}\right)\cdot \left[{\frac {x}{2}}\right]'$. הנגזרת של ${\frac {x}{2}}$ היא נגזרת של פונקצית מנה ולכן $\left[{\frac {x}{2}}\right]'={\frac {1\cdot 2-x\cdot 0}{4}}={\frac {1}{2}}$.

מנה של פונקציות

תרגיל ו'

מצא את הנגזרת של הפונקציה $f(x)={\frac {x}{\cos(x)}}$

פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה מנה של פונקציות ולכן, נעזר בכלל של נגזרת של מנה: $\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}$. נגזור ונקבל את הנגזרת: $f(x)'={\frac {\cos(x)+x\cdot \sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}$.

עוד תרגילים

1. ${\sqrt {\sin(x)}}$

פתרונות

$\left[{\sqrt {f(x)}}\right]'={\frac {f(x)'}{2{\sqrt {f(x)}}}}$, כלומר, $\left[{\sqrt {\sin(x)}}\right]'={\frac {[\sin(x)]'}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}={\frac {\cos(x)}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}={\frac {\cos(x){\sqrt {\sin(x)}}}{2\sin(x)}}$