מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציות טריגונומטריות מורכבות (דוגמאות)

בפרק זה נדגים באמצעות תרגילים את הנגזרות של פונקציות טריגונומטריות בכדי לישם את החומר הנלמד.

מורכבותעריכה

תרגיל אעריכה

מצא את הנגזרת של הפונקציה  


פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה פונקציה מורכבת ולכן, בכדי לפתור תרגיל זה נעזר בכלל של פונקציה מורכבת:  , כלומר,  . נגזור את שתי הפונקציות ונקבל את הנגזרת:  


תרגיל ג' - רצוי לזכורעריכה

מצא את הנגזרת של הפונקציה  


פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה פונקציה מורכבת ולכן, בכדי לפתור תרגיל זה נעזר בכלל של פונקציה מורכבת:  , כלומר,  . נגזור את שתי הפונקציות ונקבל את הנגזרת:  . על-פי זהות הנגזרת של הפונקציה שווה  


תרגיל ד'עריכה

מצא את הנגזרת של הפונקציה  


פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה פונקציה מורכבת ולכן, בכדי לפתור תרגיל זה נעזר בכלל של פונקציה מורכבת:  , כלומר,  . נגזור את שתי הפונקציות ונקבל את הנגזרת:  .


תרגיל ה' *עריכה

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה  


פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה פונקציה מורכבת ולכן, בכדי לפתור תרגיל זה נעזר בכלל של פונקציה מורכבת:  , כלומר,  . נגזור את שתי הפונקציות ונקבל את הנגזרת:  .
נשווה את הפונקציה לאפס ונפתור. לפתרון מלא לחץ כאן


עוד תרגיליםעריכה

  1.  
  2.  


פתרונות
  1.  
  2.  



מכפלה של פונקציותעריכה

תרגיל ב'עריכה

מצא את הנגזרת של הפונקציה  


פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה מכפלה של פונקציות ולכן, נעזר בכלל של נגזרת של מכפלה:  . נגזור ונקבל את הנגזרת:  


תרגיל ה'-רצוי לזכורעריכה

מצא את הנגזרת של הפונקציה  


פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה מכפלה של פונקציות ולכן, נעזר בכלל של נגזרת של מכפלה:  . נגזור ונקבל את הנגזרת:  . על-פי זהות הנגזרת שווה  


תרגיל ז'עריכה

מצא את הנגזרת של הפונקציה  


פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה מכפלה של פונקציות ולכן, נעזר בכלל של נגזרת של מכפלה:  . הפונקציה מורכבת מפונקציה טריגונומטרית ופונקציה חזקה (נגזרתה:  ). נגזור ונקבל את הנגזרת:  .


עוד תרגיליםעריכה

  1.  


פתרונות
  1. בפועל:   כלומר,

 . שימו לב, הנגזרת של  . הנגזרת של   היא נגזרת של פונקצית מנה ולכן  .


מנה של פונקציותעריכה

תרגיל ו'עריכה

מצא את הנגזרת של הפונקציה  


פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה מנה של פונקציות ולכן, נעזר בכלל של נגזרת של מנה:  . נגזור ונקבל את הנגזרת:  .


עוד תרגיליםעריכה

  1.  


פתרונות

 , כלומר,