מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/מעגלים

מעגל

הגדרה: אוסף של נקודות שמרחקן מנקודה קבועה (מרכז המעגל) שווה.

• שלוש נקודות הנמצאות על מעגל אחד אינן יכולות להימצא על ישר אחד.
• שלוש נקודות שאינן על ישר אחד קובעות מעגל אחד ויחיד.

רדיוס

קטעים במעגל

הגדרה: רדיוס (r) הוא קטע המחבר בין מרכז המעגל לנקודה כלשהי על המעגל.

• במעגל כל הרדיוסים שווים.
• במעגל כל הקטרים שווים.

מיתרים

הגדרה : מיתר הוא קטע המחבר בין שתי נקודות על המעגל.

משפטים :

• למיתרים שווים מתאימות קשתות שוות ולהפך לקשתות שוות מיתרים שווים.
• למיתרים שווים מתאימות זוויות מרכזיות שוות ולהפך לזוויות מרכזיות שוות יש מיתרים שווים
• אנך ממרכז המעגל אל המיתר חוצה את המיתר, הזווית המרכזית והקשת המתאימה
  • קטע החוצה את הזווית המרכזית של המיתר הוא אנך למיתר.
  • קטע העובר דרך מרכז המעגל וחוצה מיתר, מאונך לו.
  • קטע ממרכז המעגל החוצה את הקשת של המיתר אנך לו.
  • אנך ממרכז המיתר עובר דרך מרכז המעגל.
• מרחקו של מיתר מן המרכז הוא אורך האנך היוצא מהמרכז אל המיתר
• למיתרים שווים מרחק שווה ממרכז המעגל.
  • מיתרים במעגל הנמצאים במרחקים שווים מהמרכז שווים זה לזה.
• אם מיתר אחד גדול ממיתר שני אז מרחקו מהמרכז יהיה קצר יותר ממרחקו של המיתר השני.
  • מיתר שמרחקו מהמרכז קצר יותר ממרחקו של מיתר שני יהיה ארוך יותר מהמיתר השני.
• קטע העובר דרך קצהו של מיתר במעגל ויוצר איתו זווית השווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני הוא גם משיק למעגל (לא לציטוט בבגרות)

קוטר

הגדרה: קוטר הוא המיתר האורך ביותר במעגל העובר דרך מרכז המעגל, וגודלו שווה לפעמיים גודל הרדיוס (2r).

• מרחק בין מיתר למרכז המעגל הוא אנך למיתר המגיע למרכז המעגל.
• ככל שמיתר קרוב יותר למרכז המעגל הוא גדול יותר, וקוטר הוא המיתר הגדול ביותר שיכול להווצר במעגל.

קשת

הגדרה: קשת היא נקטע על המעגל הכלוא בין שתי נקודות עליו (בד"כ הכוונה לקטע הקטן אלא אם צוין אחרת). גודלה של הקשת שווה לגודל הזווית הכלואה והמתאימה לאותה קשת.

• לקשתות שוות מתאימות זוויות מרכזיות שוות.

זוויות במעגל

זווית מרכזית

הגדרה: זווית שקדקודה הוא מרכז המעגל ושוקיה הם רדיוס.

• זוית מרכזית שווה בגודלה לקשת עליה היא נשענת (לחלק לרדיוס)
• לזוויות מרכזיות שוות מתאימות קשתות שוות.
• לזוויות מרכזיות שוות מתאימים מיתרים שווים.

זווית היקפית

הגדרה: זווית שקדקודה על המעגל ושוקיה הם מיתריה.

• זווית היקפית היא זווית הנמצאת על המעגל ונשענת על קשת במעגל.
• זוית הקפית במעגל שווה למחצית הזוית המרכזית הנשענת על אותה קשת/.
• זוויות היקפיות הנשענת על אותה קשת (או על קשתות שוות) שוות זו לזו
  • לקשתות שוות מתאימות זויות הקפיות שוות.
• זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל-90 מעלות.

זוויות נוספות

• על מיתרים שווי גודל, נשענות זוויות היקפיות שוות.
• אנך מהמרכז למיתר במעגל חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה ואת הקשת המתאימה.
• זווית פנימית במעגל שווה לסכום שתי הזוויות ההיקפיות הנשענות על הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית והמשכיהן.
• זווית פנימית שווה למחצית סכום הקשתות שנשענות על שוקי הזווית ועל המשכיהן.
• זווית חיצונית למעגל שווה למחצית ההפרש שבין שתי הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת.

משיקים למעגל

הגדרה: משיק למעגל הוא ישר אינסופי הנוגע במעגל בנקודה אחת בלבד על המעגל ומאונך לרדיוסו.

• רדיוס המעגל מאונך למשיק הנפגש איתו על המעגל.
  • אם רדיוס מאונך לקטע על המעגל, הקטע משיק למעגל.
• שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים באורכם (מהנקודה המשותפת עד לנקודת ההשקה).
  • קטע המחבר קודקוד הזווית בין שני משיקים עם מרכז המעגל הוא חוצה זווית.
• הזווית הנוצרת בין משיק למיתר שווה לזווית הקפית הנשענת על המיתר מצידו השני.
  • משפט ההפוך :אם זווית הקפית ששווה לזוית בין המשיק למיתר אז המיתר משיק למעגל
• הקטע המחבר את שתי נקודות ההשקה של משיקים מקבילים הוא קוטר.

פרופורציות במעגל

שני מיתרים החותכים זה את זה

• שני מיתרים הנחתכים במעגל מחלקים זה את זה לשני קטעים כך, שמכפלת קטעי האחד שווה למכפלת קטעיו של השני.
• אם מנקודה אשר מחוץ למעגל עוברים שני חותכים למעגל אז מכפלת החותך האחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני.
• אם מנקודה אשר מחוץ למעגל עוברים חותך למעגל ומשיק למעגל מכפלת המשיק בעצמו שווה למכפלת חותך המעגל בחלקו החיצוני.

שני מעגלים

הגדרה: הקטע המחבר את מרכזיהם של שני מעגלים נקרא קטע מרכזים.

• מעגלים נחתכים - קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים, חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו.
• מעגלים משיקים חיצונית ופנימית - קטע המרכזים של מעגלים משיקים חיצונית עובר בנקודת ההשקה, ושווה לסכום הרדיוסים של שני המעגלים.
• המשך קטע המרכזים של מעגלים משיקים פנימית עובר בנקודת ההשקה, ושווה להפרש הרדיוסים של שני המעגלים.

• 
  AB קטע מרכזי אשר חוצה את הקטע המשותף
• 
  נקודת ההשקה למעגלים המשיקים זה לזהפנימית וחיצונית.

מעגל חוסם וחסום

מעגל חוסם משולש

הגדרה: מעגל חוסם משולש הוא מעגל העובר בכל אחד מקדקודי המשולש.

• ניתן לחסום כל משולש במעגל.
• מרכז המעגל החוסם הוא נקודת המפגש של כל האנכים האמצעיים של המשולש.
  • במשולש חד זווית: מרכז המעגל נמצא בתוך המשולש.
  • במשולש ישר זווית: מרכז המעגל נמצא על היתר והוא מרכזו .
  • במשולש קהה זווית: מרכז המעגל נמצא מחוץ למשולש.
• ניתן למצוא את מרכז המעגל ע"י הוכחה כי נקודה אחת היא נקודת מפגש של שני אנכים אמצעיים בלבד.

מעגל חסום במשולש

הגדרה: מעגל חסום במשולש הוא מעגל שכל צלעות המשולש משיקות לו.

• ניתן לחסום מעגל בכל משולש.
• מרכז המעגל החסום הוא נקודת המפגש של שלושת חוצי הזווית במשולש.
• ניתן להוכיח כי נקודה מסויימת היא מרכז המעגל החסום במשולש ע"י הוכחה כי נקודה אחת היא נקודת המפגש של שני חוצי זווית בלבד.

מעגלים:

• הרדיוסים של מעגלים החוסמים משולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
• הרדיוסים של מעגלים החסומים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.

מעגל חוסם מרובע

הגדרה: מעגל חוסם מרובע הוא מעגל העובר דרך כל הקדקודים של המרובע.בכדי שיהיה ניתן לחסום מרובע במעגל, במרובע חייב להתקיים אחד הכללים הבאים:

• כל זוג זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל, סכומן 180 מעלות (סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא 180 מעלות).
  • מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תש"ע (ניסוי)/035806/תרגיל 4
• אם במרובע כל ארבעת האנכים האמצעיים נפגשים בנק אחת, נק זו היא מרכז המעגל וניתן לחסום מרובע זה ע"י המעגל.

מעגל חסום במרובע

הגדרה: מעגל חסום במרובע הוא מעגל שכל צלעות המרובע משיקות לו. *בכדי שניתן יהיה לחסום מעגל במרובע, במרובע חייב להתקיים הכלל הבא:

• במרובע חוסם מעגל סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני.
• מרובע שבו סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני הוא מרובע חוסם מעגל.

מצולע משוכלל חוסם וחסום מעגל

• אם מחלקים מעגל למספר (n) קשתות שוות ומחברים את נקודות החלוקה בזו אחר זו מקבלים מצולע משוכלל בעל n צלעות.
• כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל.
• בכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל.