מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/מרובעים

מרובע עריכה

הגדרה: מרובע הוא מצולע סגור שיש לו ארבע צלעות וארבע זוויות הכלואות ביניהן.

הגדרה: אלכסון במרובע הוא קטע המחבר בין קדקוד אחד של המרובע לקדקוד שנגדי לו(קדקוד שאינו מחובר לו על ידי צלע).

  • סכום הזויות במרובע 360.
  • סכום הזויות החיצוניות במצולע 360.
  • אלכסון הוא קו המחבר בין שני קודקודים(מפגשי צלעות) שלא יושבים על אותה צלע (קודקודים נגדיים).
  • שטח ריבוע שצלעו ניצב אחד של משולש ישר זווית שווה לשטח מלבן שצלעותיו הן היתר וההיטל של ניצב זה על היתר. (משפט אוקלידס)

טרפז עריכה

הגדרה: בטרפז זוג אחד של צלעות נגדיות מקבילות, והן נקראות בסיסים. שתי הצלעות הנותרות, הלא מקבילות, נקראות שוקיים.

קטע אמצעים בטרפז עריכה

הגדרה: קטע אמצעים בטרפז הוא קטע המחבר את אמצעי שתי השוקיים של הטרפז.

  • קטע אמצעים בטרפז מקביל לשני הבסיסים.
  • קטע אמצעים בטרפז שווה למחצית סכום הבסיסים.
    • האלכסון בטרפז שווה שוקיים גדול מקטע האמצעים.
    • קטע בטרפז היוצא מאמצע שוק אחת ומקביל לבסיסים חוצה את הצלע השנייה.

טרפז חסום במעגל עריכה


מקבילית עריכה

הגדרה: מקבילית היא מרובע בו כל זוג צלעות נגדיות מקבילות אחת לשניה.

מלבן עריכה

הגדרה: מלבן הוא מקבילית שאחת מזוויותיה שווה ל 90 מעלות.

  • כל זוויות המלבן שוות ל 90 מעלות.
  • במלבן האלכסונים שווים זה לזה וחוצים זה את זה.
    • מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן
  • במלבן כל זוג צלעות נגדיות הן מקבילות זו לזו ושוות זו לזו.
  • כל מלבן הוא מקבילית וחלים עליו כל חוקיה

דלתון עריכה

הגדרה: דלתון הוא מרובע המורכב משני משולשים שווי שוקיים בעלי בסיס משותף.

  • אלכסוני הדלתון מאונכים זה לזה.
  • האלכסון המשני נחתך לשני חלקים שווים על ידי האלכסון הראשי.
  • האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש (הזוויות בין זוג צלעות שוות), מאונך ותיכון לאלכסון המשני.
    • האלכסון הראשי בדלתון מחלק אותו לשני משולשים חופפים החולקים בסיס.
    • האלכסון המשני בדלתון מחלק אותו לשני משולשים שווי שוקיים החולקים בסיס.
  • שתי הזוויות שבין צלעות בעלות אורכים שונים, שוות.
  • דלתון שכל צלעותיו שוות הוא מעוין.

מעוין עריכה

הגדרה: מעוין הוא דלתון/מקבילית שכל צלעותיו שוות.

  • כל הצלעות במעויין שוות זו לזו.
  • אלכסוני המעוין חוצים את זוויות המעוין וזה את זה.
    • מקבילית שבה האלכסונים חוצים זה את זה וניצבים זה לזה היא מעוין.
  • אלכסוני המעוין מאונכים זה לזה.
  • כל מעויין הוא גם מקבילית וחלים עליו כל חוקיה.
  • מעויין ששתי זוויות צמודות בו שוות, או שזווית אחת מזוויותיו היא בת 90 מעלות, הוא ריבוע.
  • מעוין בעל זוית בת 90 מעלות הוא ריבוע

ריבוע עריכה

הגדרה: הריבוע הוא "המרובע המושלם" וחלים עליו חוקייהם של כל המרובעים. הוא גם דלתון, גם מקבילית, גם מעויין, וגם מלבן.

  • אלכסוניו של הריבוע שווים זה לזה, מאונכים זה לזה, חוצים זה את זה, וחוצי זויות הריבוע.
  • כל צלעותיו של הריבוע שוות זו לזו.
  • כל הזוויות בריבוע הן בנות 90 מעלות.
  • כל זוג צלעות נגדיות בריבוע מקבילות זו לזו.
  • אלכסוני הריבוע מחלקים אותו כל אחד לשני משולשים שווי שוקיים וישרי זווית, שווים בגודל וחולקי בסיס ששוקיהם הם צלעות הריבוע. יחד הם מחלקים אותו לארבעה משולשים שווי שוקיים וישרי זווית החולקים שוקיים, ובסיסיהם הם צלעות הריבוע.