מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/מרובעים

מרובע

הגדרה: מרובע הוא מצולע סגור שיש לו ארבע צלעות וארבע זוויות הכלואות ביניהן.

הגדרה: אלכסון במרובע הוא קטע המחבר בין קדקוד אחד של המרובע לקדקוד שנגדי לו(קדקוד שאינו מחובר לו על ידי צלע).

• סכום הזויות במרובע 360.
• סכום הזויות החיצוניות במצולע 360.
• אלכסון הוא קו המחבר בין שני קודקודים(מפגשי צלעות) שלא יושבים על אותה צלע (קודקודים נגדיים).
  • שטח מרובע שאלכסונים מאונכים שווה למחצית מכפלת האלכסונים (לא לציטוט בבגרות)
• שטח ריבוע שצלעו ניצב אחד של משולש ישר זווית שווה לשטח מלבן שצלעותיו הן היתר וההיטל של ניצב זה על היתר. (משפט אוקלידס)

טרפז

הגדרה: בטרפז זוג אחד של צלעות נגדיות מקבילות, והן נקראות בסיסים. שתי הצלעות הנותרות, הלא מקבילות, נקראות שוקיים.

• סכום שתי זוויות הצמודות לאותה שוק תמיד שווה ל 180 מעלות.
• טרפז שווה שוקיים הוא טרפז שזוג הצלעות הלא מקבילות (שוקיו) שלו שוות זו לזו, וחלים עליו חוקים מיוחדים:
  • האלכסונים שווים זה לזה.
  • נקודת החיתוך של האלכסונים מחלקת אותם כך שהיחס בין החלקים של האלכסונים שווה ליחס בין הבסיסים (ע"פ משפט תאלס)
  • בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים.
  • זוויות הבסיס בטרפז שווה שוקיים תמיד שוות.
• טרפז שבו כל הקודקודים נמצאים על אותו מעגל הוא בהכרח שווה שוקיים.
• טרפז שווה שוקיים שבו שתי השוקיים מאונכות לבסיסים הוא מלבן.
• טרפז שזוג הצלעות המקבילות שלו שוות הוא מקבילית.
• האלכסונים בטרפז שווה שוקיים מחלקים זה את זה כך שחלקיהם הקרובים לבסיסים שווים(לא לציטוט בבגרות)
• המקביל לבסיסים בטרפז העובר דרך נקודת מפגש האלכסונים נחצה (לא לציטוט בבגרות)

קטע אמצעים בטרפז

הגדרה: קטע אמצעים בטרפז הוא קטע המחבר את אמצעי שתי השוקיים של הטרפז.

• קטע אמצעים בטרפז מקביל לשני הבסיסים.
• קטע אמצעים בטרפז שווה למחצית סכום הבסיסים.
  • האלכסון בטרפז שווה שוקיים גדול מקטע האמצעים.
  • קטע בטרפז היוצא מאמצע שוק אחת ומקביל לבסיסים חוצה את הצלע השנייה.

טרפז חסום במעגל

• כל טרפז החסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים (לא לציטוט בבגרות)

מקבילית

הגדרה: מקבילית היא מרובע בו כל זוג צלעות נגדיות מקבילות אחת לשניה.

• במקבילית כל זוג זוויות נגדיות שוות.
  • משפט הפוך במרובע בו כל זוג זווית נגדיות שוות הוא מקבילית.
• במקבילית כל זוג צלעות נגדיות שוות זו לזו
  • משפט הפוך במרובע בו כל זוג צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית.
• אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה.
  • משפט הפוך: מרובע בו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית.
• במקבילית כל זוג צלעות נגדיות מקבילות זו לזו, ושוות זו לזו.
  • אם במרובע קיים זוג אחד של צלעות נגדיות, מקבילות ושוות הוא מקבילית.
  • אם במרובע קיים שני זוגות של צלעות מקבילות, המרובע הוא מקבילית.
• מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן.
• מקבילית בה אחת הזוויות היא 90 מעלות, אז כל זוויותיה 90 מעלות והיא מלבן.
• במקבילית כל זוג זוויות סמוכות סכומן 180.
• אלכסון במקבילית מחלק אותה לשני משולשים חופפים ושווי שטח (לא לציטוט בבגרות)
• האלכסונים במקבילית מחלקים אותה לארבע משולשים שווי שטח(לא לציטוט בבגרות)

מלבן

הגדרה: מלבן הוא מקבילית שאחת מזוויותיה שווה ל 90 מעלות.

• כל זוויות המלבן שוות ל 90 מעלות.
• במלבן האלכסונים שווים זה לזה וחוצים זה את זה.
  • מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן
• במלבן כל זוג צלעות נגדיות הן מקבילות זו לזו ושוות זו לזו.
• כל מלבן הוא מקבילית וחלים עליו כל חוקיה

דלתון

הגדרה: דלתון הוא מרובע המורכב משני משולשים שווי שוקיים בעלי בסיס משותף.

• אלכסוני הדלתון מאונכים זה לזה.
• האלכסון המשני נחתך לשני חלקים שווים על ידי האלכסון הראשי.
• האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש (הזוויות בין זוג צלעות שוות), מאונך ותיכון לאלכסון המשני.
  • האלכסון הראשי בדלתון מחלק אותו לשני משולשים חופפים החולקים בסיס.
  • האלכסון המשני בדלתון מחלק אותו לשני משולשים שווי שוקיים החולקים בסיס.
• שתי הזוויות שבין צלעות בעלות אורכים שונים, שוות.
• דלתון שכל צלעותיו שוות הוא מעוין.

מעוין

הגדרה: מעוין הוא דלתון/מקבילית שכל צלעותיו שוות.

• כל הצלעות במעויין שוות זו לזו.
• אלכסוני המעוין חוצים את זוויות המעוין וזה את זה.
  • מקבילית שבה האלכסונים חוצים זה את זה וניצבים זה לזה היא מעוין.
• אלכסוני המעוין מאונכים זה לזה.
• כל מעויין הוא גם מקבילית וחלים עליו כל חוקיה.
• מעויין ששתי זוויות צמודות בו שוות, או שזווית אחת מזוויותיו היא בת 90 מעלות, הוא ריבוע.
• מעוין בעל זוית בת 90 מעלות הוא ריבוע

ריבוע

הגדרה: הריבוע הוא "המרובע המושלם" וחלים עליו חוקייהם של כל המרובעים. הוא גם דלתון, גם מקבילית, גם מעויין, וגם מלבן.

• אלכסוניו של הריבוע שווים זה לזה, מאונכים זה לזה, חוצים זה את זה, וחוצי זויות הריבוע.
• כל צלעותיו של הריבוע שוות זו לזו.
• כל הזוויות בריבוע הן בנות 90 מעלות.
• כל זוג צלעות נגדיות בריבוע מקבילות זו לזו.
• אלכסוני הריבוע מחלקים אותו כל אחד לשני משולשים שווי שוקיים וישרי זווית, שווים בגודל וחולקי בסיס ששוקיהם הם צלעות הריבוע. יחד הם מחלקים אותו לארבעה משולשים שווי שוקיים וישרי זווית החולקים שוקיים, ובסיסיהם הם צלעות הריבוע.