מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקציה מעריכית e^x וכללי הגזירה

פונקצית אקספוננט מורכבת

תבנית $y=e^{f(x)}$ לדוגמה $y=e^{2x}+e^{x}+2$ תחום הגדרה ותנאים מקדמים פונקציה אקספוננט מורכבת מוגדרת לכל $x$ עם זאת מאחר והיא מורכבת יש לבחון את תחומי ההגדרה לסוגים השונים של הפונקציות בהתאם. אם הפונקציה מעריכית מורכבת עם פונקציה רציונלית נבדוק מתי המכנה גדול מאפס. אם היא חלק מפונקצית שורש, נבדוק מתי הבסיס שבשורש גדול מאפס וכן הלאה. פתירת משוואה מעריכית עם $e^{x}$. אם $e^{x}-a\neq 0$לאחר העברת אגפים, נכפיל ב-$ln$ בכדי לחלץ את הנעלם בחזקה ונקבל $x\neq \ln(a)$. דוגמה 1: תחום הגדרה למכנה $e^{2x}-5e^{x}+4$ נשווה את המכנה לאפס ונקבל $e^{2x}-5e^{x}+4\neq 0$ נעזר בהצבה $e^{x}=t$ ${\begin{aligned}t^{2}-tx+4\neq 0\\(t-4)(t-1)\neq 0\\t_{1}\neq 1&t_{2}\neq 4\\\end{aligned}}$ נציב את $e^{x}=t$ בחזרה ונקבל, ${\begin{aligned}&e^{x}\neq 1&e^{x}\neq 4\\&x\neq \ln(1)&x\neq ln4\\&x\neq 0&x\neq ln4\\\end{aligned}}$ חיתוך עם הצירים חיתוך עם ציר $x$ נציב $y=0$ נפתור משוואה מעריכית. נזכור כי ניתן לחלק ב-$e^{x}$ מפני ש-$e^{x}>0$ נזכור כי $e^{0}=1$ לדוגמה לחץ כאן חיתוך עם ציר $y$ נציב $x=0$ נפתור משוואה עם $e$. נזכור כי $e^{0}=1$ לדוגמה לחץ כאן נקודת הקיצון מציאת נגזרת על פי הכלל $\ (e^{f(x)})'=e^{f(x)}*f'(x)$. לדוגמא, הנגזרת של הפונקציה $y=e^{x^{2}-4x}+5x$ היא: $y'=e^{x^{2}-4x}\cdot (2x-4)+5$ (כאשר יש לנו מנה של פונקציות, לדוגמה $y={\frac {2x}{e^{x}}}$ ניתל להעזר במקום בכלל מנת פונקציות, בהמרה $y=2x*e^{-x}$ ולהעזר בכלל מכפלת פונקציות). מציאת ערכי ה-$x$ של הנקודה על ידי השוואת הנגזרת לאפס. מציאת ערכי ה-$y$ של הנקודה על ידי הצבת ערך ה-$x$ המתקבל במשוואת הפונקציה. בעת קביעת סוג נקודת הקיצון עדיף להיעזר בנגזרת שנייה על פני טבלה. נזכור $a^{x}$ תמיד חיובי ולכן אין צורך לגזור אותו בנגזרת שנייה. כמו גם אם מדובר בפונקצית שורש, המונה תמיד חיובי ולכן ניתן להתעלם ממנו. ראו דוגמה כאן. נקודות פיתול מציאת נקודות פיתול באמצעות טבלה מציאת נקודות פיתול באמצעות נגזרת שנייה נגזור את הפונקציה נגזרת ראשונה. נגזור את הפונקציה נגזרת שנייה. נזכר שוב כי המונה בפונקצית שורש תמיד חיובי בנגזרת שנייה וכל שהביטוי $a^{x}$ תמיד חיובי לכן ניתן להתייחס אליהם כאילו לא היו קיימים מנגזרת שנייה והלאה. מציאת ערכי ה-$x$ של נקודת הפיתול - נשווה את הנגזרת השנייה לאפס. נאשרר כי מדובר בנקודת פיתול על ידי גזירת הפונקציה נגזרת שלישית ונוכיח כי הנגזרת המתקבלת שונה מאפס (כלומר אינה מאפסת את הנגזרת) מציאת ערכי ה-$y$ של הנקודה על ידי הצבת ערך ה-$x$ המתקבל במשוואת הפונקציה. קביעת סוג הנקודה יתבצע באמצעות פתרון של אי שיוויון מערכי (או טבלה) - נבדוק מתי נגזרת שנייה של הפונקציה גדולה מאפס. אסימפטוטות אסימפטוטה אנכית לציר $x$ נשווה את המכנה לאפס ונפתור משוואה מעריכית ולכן, כאשר: $e^{x}=a$, התוצאה היא, $x=\ln(a)$. אם יש לנו ערך המאפס את המכנה נבנה טבלה (או לחילופין נוודא כי התוצאה אינה מאפסת את המונה) ונבחן האם מדובר בחור או באסימפטוטה. לדוגמה לחץ כאן בטבלה יהיו שבעה ערכים כשהמרכזי הוא ערך הנקודה החשודה. יש להציב שישה ערכי $x$ קרובים לתוצאה אותה קיבלנו לפני ואחרי הנקודה. לחשב את ערך ה-$y$ של ה-$x$ באמצעות הצבה בטבלה. לבחון את התנהגות הפונקציה: אם ערך ה-$y$ גדל ככל שמתקרבים לנקודה סימן שמדובר באסימפטוטה. אם ערך ה-$y$ קטן (כלומר מתכנס לנקודה) ככל שמתקרבים לנקודה סימן שמדובר בחור. אסימפטוטה אופקית פתרון אפשרי באמצעות הדרך הארוכה : כאשר נבדוק בנפרד $lim_{x\rightarrow \infty }$ וכן $lim_{x\rightarrow -\infty }$ עבור $lim_{x\rightarrow \infty }$ נחלק את הפונקציה בנעלם עם החזקה הגדולה. נציב $lim_{x\rightarrow \infty }$ נבדוק עבור התחום $lim_{x\rightarrow -\infty }$ נשם לב כי $e^{-\infty }={\frac {1}{e^{\infty }}}=0$ ולכן פעמים רבות נוכל להציב ב-$x$ את מינוס אינסוף, ללא צורך לחלק בחזקה הגדולה ביותר. (ראה לדוגמה, פה. בנוסף, נשם לב לקצב גידול ומהירות שאיפה: הפונקציה המעריכית גדלה מהר מאוד, הרבה יותר מהר מפונקציות $\ x^{2},x^{3},x^{4}$ וכו'. לכן פונקציה כמו $\ {\frac {x^{10}}{e^{x}}}$ (קטן חלק גדול) שואפת לאפס כשאשא $\ x$ שואף לאינסוף. במידה וצריך נחלק בחזקה הגדול ביותר ונחלק. נבדוק כי האסימפטוטות אינן נחתכות עם הפונקציה על ידי הצבה ערכיהן בפונקציה. דוגמה 2: מהירות שאיפה מי שואף מהר יותר $e^{x}$ או $x^{2}+1$? $e^{x}$ נחשב ל"שואף מהר יותר" מ-$x^{2}+1$ כיוון ש-$e$ שווה בערך לשלוש. כאשר מעלים אותו במיליון הוא : $3^{1,000,000}$ (שלוש*מיליון פעמים שלוש = אינסוף פעמים שלוש) לעומת זאת, $1,000,000^{2}+1$ , שואף לאט יותר, כיוון שהוא רק מיליון*מיליון = מיליון בריבוע. ובקיצור : $e^{x}$ שואף מהר יותר ממיליון בחזקה נעלם ששונה ממיליון. לעיתים ניתן להעזר בדרך מקוצרת, לדוגמה, לחץ כאן תחומי עליה וירידה נמצא את תחום ההגדרה. במידה ומצאנו את נקודות הקיצון של הפונקציה ובדקנו את סוגן, נוכל להעזר בגרף על מנת לדעת את תחומי העלייה וירידה. במידה ולא מצאנו את נקודות הקיצון של הפונקציה נפתור את המשוואה $y'(x)>0$ בכדי למצוא תחומי עלייה, ו-$y'(x)<0$. ראה דוגמה כאן תחום שלילי וחיובי