מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקצית מעריכית מורכבת (שאינה e)

פונקצית אקספוננט מורכבת

תבנית $y=g(f)^{f(x)}$ לדוגמה $y=5^{2x}+4^{x}+2$ תחום הגדרה ותנאים מקדמים פונקציה מעריכית מוגדרת לכל $x$ עם זאת מאחר והיא מורכבת יש לבחון את תחומי ההגדרה לסוגים השונים של הפונקציות בהתאם. פונקציה רציונלית נבדוק מתי המכנה גדול מאפס. אם היא חלק מפונקצית שורש, נבדוק מתי הבסיס שבשורש גדול מאפס וכן הלאה. כמו גם, מאחר שפונקציה מערכית מחייבת $a^{x}>0$, אנו תמיד נבחן מתי הבסיס של החזקה גדול מאפס. לאחר מכן נפתור תרגיל שלמשוואה מעריכית.נזכיר את הכללים לבסיס משתנה : כאשר ${a^{f(x)}>a^{g(x)}{\xrightarrow {a>1}}f(x)>g(x)}$ כאשר ${a^{f(x)}>a^{g(x)}{\xrightarrow {0<a<1}}f(x)<g(x)}$ דוגמה 1: תחום הגדרה למכנה $y={\sqrt {2^{x^{2}}-{\frac {1}{4}}^{x}}}$ הבסיס של השורש חייב להיות גדול מאפס (ובכלל, גם בלי השורש הבסיס צריך להיות גדול מאפס) לכן, ${\sqrt {2^{x^{2}}-{\frac {1}{4}}^{x}}}\geq 0$. נמצא בסיס משותף (2), ${\sqrt {2^{x^{2}}-{\frac {1}{2}}^{2x}}}\geq 0$ נבטל את המכנה באמצעות העלאה, ${\sqrt {2^{x^{2}}-2^{-2x}}}\geq 0$ נבטל שורש, $2^{x^{2}}-2^{-2x}\geq 0$ נעביר אגפים, $2^{x^{2}}\geq 2^{-2x}$ נשווה מעריכים, $x^{2}\geq -2x$ הפתרונות $x\neq -2;x\neq 0$ חיתוך עם הצירים חיתוך עם ציר $x$ נציב $y=0$ נפתור משוואה מעריכית. חיתוך עם ציר $y$ נציב $x=0$ נפתור משוואה מעריכית חיתוך עם פונקציה הנעלם a, יכול להיות בסיס קבוע (כדוגמא 2,3,4) או בסיס משתנה. בכל מקרה, דרך הפתרון תיהיה באמצעות : משוואה מעריכית. לדוגמה, פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה. נקודת הקיצון מציאת נגזרת על פי הכלל $\left(a^{g(x)}\right)'=a^{g(x)}\cdot g(x)'\cdot \ln(a)$. מציאת ערכי ה-$x$ של הנקודה על ידי השוואת הנגזרת לאפס. מציאת ערכי ה-$y$ של הנקודה על ידי הצבת ערך ה-$x$ המתקבל במשוואת הפונקציה. בעת קביעת סוג נקודת הקיצון עדיף להיעזר בנגזרת שנייה על פני טבלה. נזכור $a^{x}$ תמיד חיובי ולכן אין צורך לגזור אותו בנגזרת שנייה. כמו גם אם מדובר בפונקצית שורש, המונה תמיד חיובי ולכן ניתן להתעלם ממנו. ראו דוגמה כאן. נקודות פיתול מציאת נקודות פיתול באמצעות טבלה מציאת נקודות פיתול באמצעות נגזרת שנייה נגזור את הפונקציה נגזרת ראשונה. נגזור את הפונקציה נגזרת שנייה. נזכר שוב כי המונה בפונקצית שורש תמיד חיובי בנגזרת שנייה וכל שהביטוי $a^{x}$ תמיד חיובי לכן ניתן להתייחס אליהם כאילו לא היו קיימים מנגזרת שנייה והלאה. מציאת ערכי ה-$x$ של נקודת הפיתול - נשווה את הנגזרת השנייה לאפס. נאשרר כי מדובר בנקודת פיתול על ידי גזירת הפונקציה נגזרת שלישית ונוכיח כי הנגזרת המתקבלת שונה מאפס (כלומר אינה מאפסת את הנגזרת) מציאת ערכי ה-$y$ של הנקודה על ידי הצבת ערך ה-$x$ המתקבל במשוואת הפונקציה. קביעת סוג הנקודה יתבצע באמצעות פתרון של אי שיוויון מערכי (או טבלה) - נבדוק מתי נגזרת שנייה של הפונקציה גדולה מאפס. אסימפטוטות אסימפטוטה אנכית לציר $x$ נשווה את המכנה לאפס ונפתור משוואה מעריכית. אם יש לנו ערך המאפס את המכנה נבנה טבלה (או לחילופין נוודא כי התוצאה אינה מאפסת את המונה) ונבחן האם מדובר בחור או באסימפטוטה. בטבלה יהיו שבעה ערכים כשהמרכזי הוא ערך הנקודה החשודה. יש להציב שישה ערכי $x$ קרובים לתוצאה אותה קיבלנו לפני ואחרי הנקודה. לחשב את ערך ה-$y$ של ה-$x$ באמצעות הצבה בטבלה. לבחון את התנהגות הפונקציה: אם ערך ה-$y$ גדל ככל שמתקרבים לנקודה סימן שמדובר באסימפטוטה. אם ערך ה-$y$ קטן (כלומר מתכנס לנקודה) ככל שמתקרבים לנקודה סימן שמדובר בחור. אסימפטוטה אופקית פתרון אפשרי באמצעות הדרך הארוכה והקצרה אולם יש לבדוק עבור כל ערך בנפרד. נבדוק את ערכי הפונקציה עבור $lim_{x\rightarrow \infty }$ נחלק את הפונקציה בנעלם עם החזקה הגדולה. נציב $lim_{x\rightarrow \infty }$. פעמים רבות נוכל להציב מידית $lim_{x\rightarrow \infty }$ וכן ניתן לדלג על הסעיף הקודם. נזכור שכאשר $a^{\infty }$ אין אסימפטוטה. נבדוק עבור התחום $lim_{x\rightarrow -\infty }$ נשם לב כי $a^{-}\infty$ נקבל ${\frac {1}{a^{\infty }}}$ דהינו $y=0$ ולכן פעמים רבות נוכל להציב ב-$x$ את מינוס אינסוף, ללא צורך לחלק בחזקה הגדולה ביותר. .נשם לב לקצב גידול ומהירות שאיפה: הפונקציה המעריכית גדלה מהר מאוד, הרבה יותר מהר מפונקציות $\ x^{2},x^{3},x^{4}$ וכו'. לכן פונקציה כמו $\ {\frac {x^{10}}{e^{x}}}$ (קטן חלק גדול) שואפת לאפס כשאשא $\ x$ שואף לאינסוף. במידה ומתקשים ניתן להציב $a^{x}=t$ ולבחון תחילה את התנהגות ה-$t$ ורק לאחר מכן להציב את הגבול. לדוגמה לחץ כאן נבדוק כי האסימפטוטות אינן נחתכות עם הפונקציה על ידי הצבה ערכיהן בפונקציה. תחומי עליה וירידה נמצא את תחום ההגדרה. במידה ומצאנו את נקודות הקיצון של הפונקציה ובדקנו את סוגן, נוכל להעזר בגרף על מנת לדעת את תחומי העלייה וירידה. במידה ולא מצאנו את נקודות הקיצון של הפונקציה נפתור את המשוואה $y'(x)>0$ בכדי למצוא תחומי עלייה, ו-$y'(x)<0$. תחום שלילי וחיובי