מבנים אלגבריים/חבורות/חבורות חשובות

מספרים

שלמים

החבורה עליה מדובר היא החבורה $(\mathbb {Z} ,+)$ עם האיבר הנייטרלי $0$ והחיבור הוא החיבור המוכר לכולנו של חיבור שלמים. ההוכחה שזו אכן חבורה נובעת מההגדרה של החיבור על השלמים והאקסיומות של פאנו, לא נזכיר אותה בפרק זה.

רציונלים

החבורה $(\mathbb {Q} ,+)$ עם האיבר הנייטרלי $0$.

ממשיים

החבורה $(\mathbb {R} ,+)$ עם האיבר הנייטרלי $0$.

שלמים מודולו n

יהיו $a,n\in \mathbb {N}$. נחלק את $a$ ב־$n$, ואת השארית נסמן $a_{\!\!\!\mod \!n}$.

לכל $a,b\in \mathbb {N}$ נסמן $a+_{n}b=(a+b)_{\!\!\!\mod \!n}$.

לכל $n\in \mathbb {N}$ נסמן $\mathbb {Z} _{n}=\{x\in \mathbb {N} :x\leq n\}=\{0,\ldots ,n-1\}$.

החבורה $(\mathbb {Z} _{n},+_{n})$ עם האיבר הנייטרלי $0$ נקראת החבורה מודולו n.

פונקציות

חבורת התמורות על קבוצה כלשהי (חבורת הסימטריה)

תהי $X$ קבוצה. נסמן ב$S_{X}$ את קבוצת הפונקציות $f:X\to X$ החד-חד-ערכיות ועל.

החבורה $(S_{X},\circ )$ עם איבר היחידה $I$ נקראת חבורת הסימטריה על $X$.

חבורת התמורות על קבוצה סופית

אם $X$ קבוצה סופית שמספר איבריה $|X|=n$, אז ניתן להראות באינדוקציה כי $|S_{X}|=n!$. את חבורת הסימטריה על הקבוצה $\mathbb {Z} _{n}$ נהוג לסמן $S_{n}$.

גאומטריה

חבורות ליניאריות

החבורה האוניטרית

הפרק הקודם: תכונות בסיסיות

חבורות חשובות

הפרק הבא: תת-חבורות