עד כה עסקנו בחבורות בצורה סטאטית. כלומר, התעסקנו במבנה הכללי של חבורה ושל חבורות ספציפיות שבדקנו (ראה פרק חבורות חשובות ). בפרק זה נתעסק בקשר בין חבורות שונות ובאיזשהו סוג של "דמיון" בין שתי חבורות, וזאת בעזרת פונקציות מחבורה אחת לאחרת.
כפי שהקורא כבר יכול לתאר לעצמו, לא מספיק שהפונקציות הללו יהיו סתם פונקציות מקבוצה אחת לאחרת ששניהן במקרה גם חבורות, אלא שאותה פונקציה תצטרך גם "לשמר" באיזשהו מובן את המבנה של החבורות בתחום ובטווח.
עריכה
נתחיל את הפרק בהגדרה של הומומורפיזמים.
הגדרה: הומומורפיזם
תהיינה
(
X
,
⋅
,
1
X
)
,
(
Y
,
+
,
0
Y
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle \ f:X\rightarrow Y}
∀
a
,
b
∈
X
f
(
a
⋅
b
)
=
f
(
a
)
+
f
(
b
)
{\displaystyle \ \forall a,b\in X\quad f(a\cdot b)=f(a)+f(b)}
תיקרא הומומורפיזם של חבורות מ
X
{\displaystyle \ X}
Y
{\displaystyle \ Y}
או בקיצור,כאשר מובן שמדובר בחבורות, הומומורפיזם מ
X
{\displaystyle \ X}
Y
{\displaystyle \ Y}
.
כלומר, פונקציה ש"משמרת" את המבנה של החבורות בתחום ובטווח היא הומומורפיזם. הטענות הבאות יראו לנו שהומומורפיזמים של חבורות, אכן שומרים על המבנה ומגלים לנו דברים חשובים על הקשר בין שתי החבורות.
טענה: הומומורפיזם מעבר איבר נייטרלי לאיבר נייטרלי
תהיינה
(
X
,
⋅
,
1
X
)
,
(
Y
,
+
,
0
Y
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle \ f:X\rightarrow Y}
f
(
1
X
)
=
0
Y
{\displaystyle \ f(1_{X})=0_{Y}}
הוכחה:
∀
x
∈
X
f
(
x
)
=
f
(
1
X
x
)
=
f
(
1
X
)
+
f
(
x
)
⇒
f
(
1
X
)
=
0
Y
{\displaystyle \ \forall x\in X\quad f(x)=f(1_{X}x)=f(1_{X})+f(x)\Rightarrow f(1_{X})=0_{Y}}
טענה: הומומורפיזם מעביר הפכי להפכי
תהיינה
(
X
,
⋅
,
1
X
)
,
(
Y
,
+
,
0
Y
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle \ f:X\rightarrow Y}
∀
x
∈
X
f
(
x
−
1
)
=
−
f
(
x
)
{\displaystyle \ \forall x\in X\quad f(x^{-1})=-f(x)}
הוכחה:
∀
x
∈
X
0
Y
=
f
(
1
X
)
=
f
(
x
⋅
x
−
1
)
=
f
(
x
)
+
f
(
x
−
1
)
⇒
f
(
x
−
1
)
=
−
f
(
x
)
{\displaystyle \ \forall x\in X\quad 0_{Y}=f(1_{X})=f(x\cdot x^{-1})=f(x)+f(x^{-1})\Rightarrow f(x^{-1})=-f(x)}
טענה: הרכבה של הומומורפיזמים
בהינתן החבורות
(
X
,
⋅
,
1
X
)
,
(
Y
,
+
,
0
Y
)
(
Z
,
♡
,
e
Z
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})\quad (Z,\heartsuit ,e_{Z})}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle \ f:X\rightarrow Y}
g
:
Y
→
Z
{\displaystyle \ g:Y\rightarrow Z}
g
∘
f
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle \ g\circ f(x)=g(f(x))}
היא הומומורפיזם.
הוכחה:
יהיו
a
,
b
∈
X
{\displaystyle \ a,b\in X}
(
g
∘
f
)
(
a
b
)
=
(
1
)
g
(
f
(
a
b
)
)
=
(
2
)
g
(
f
(
a
)
+
f
(
b
)
)
=
(
3
)
g
(
f
(
a
)
)
♡
g
(
f
(
b
)
)
=
(
4
)
(
g
∘
f
)
(
a
)
♡
(
g
∘
f
)
(
b
)
{\displaystyle \ (g\circ f)(ab)=^{(1)}g(f(ab))=^{(2)}g(f(a)+f(b))=^{(3)}g(f(a))\heartsuit g(f(b))=^{(4)}(g\circ f)(a)\heartsuit (g\circ f)(b)}
הסבר מעברים:
f
{\displaystyle \ f}
g
{\displaystyle \ g}
עריכה
הגדרה: התמונה של הומומורפיזם
בהינתן הומומורפיזם
f
:
X
→
Y
{\displaystyle \ f:X\rightarrow Y}
(
X
,
⋅
,
1
X
)
,
(
Y
,
+
,
0
Y
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})}
Im
(
f
)
=
{
f
(
x
)
|
x
∈
X
}
{\displaystyle \ {\text{Im}}(f)=\{f(x)|x\in X\}}
קבוצה זו תיקרא התמונה של
f
{\displaystyle \ f}
.
הגדרה: גרעין של הומומורפיזם
בהינתן הומומורפיזם
f
:
X
→
Y
{\displaystyle \ f:X\rightarrow Y}
(
X
,
⋅
,
1
X
)
,
(
Y
,
+
,
0
Y
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})}
ker
(
f
)
=
{
x
∈
X
|
f
(
x
)
=
0
Y
}
{\displaystyle \ {\text{ker}}(f)=\{x\in X|f(x)=0_{Y}\}}
קבוצה זו תיקרא הגרעין של
f
{\displaystyle \ f}
.
וביתר כלליות, נוכל להגדיר:
הגדרה: התמונה המצומצמת של הומומורפיזם
בהינתן הומומורפיזם
f
:
X
→
Y
{\displaystyle \ f:X\rightarrow Y}
(
X
,
⋅
,
1
X
)
,
(
Y
,
+
,
0
Y
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})}
D
⊆
X
{\displaystyle \ D\subseteq X}
f
(
D
)
=
{
f
(
d
)
|
d
∈
D
}
{\displaystyle \ f(D)=\{f(d)|d\in D\}}
קבוצה זו תיקרא התמונה של
f
{\displaystyle \ f}
D
{\displaystyle \ D}
ולפעמים תסומן גם כ
Im
(
f
|
D
)
{\displaystyle \ {\text{Im}}(f|_{D})}
הלמה הבאה קלה להוכחה ומושארת כתרגיל לקורא:
למה "הגרעין והתמונה הם חבורות חלקיות"
בהינתן הומומורפיזם
f
:
X
→
Y
{\displaystyle \ f:X\rightarrow Y}
(
X
,
⋅
,
1
X
)
,
(
Y
,
+
,
0
Y
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})}
Im
(
f
)
≤
Y
ker
(
f
)
≤
X
{\displaystyle \ {\text{Im}}(f)\leq Y\quad \quad {\text{ker}}(f)\leq X}
טענה: ח"ח נשמרות ע"י הומומורפיזמים
בהינתן הומומורפיזם
f
:
X
→
Y
{\displaystyle \ f:X\rightarrow Y}
(
X
,
⋅
,
1
X
)
,
(
Y
,
+
,
0
Y
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})}
D
≤
X
{\displaystyle \ D\leq X}
f
(
D
)
≤
Y
{\displaystyle \ f(D)\leq Y}
טענה: קומוטטיביות של ח"ח נשמרות ע"י הומו'
בהינתן הומומורפיזם
f
:
X
→
Y
{\displaystyle \ f:X\rightarrow Y}
(
X
,
⋅
,
1
X
)
,
(
Y
,
+
,
0
Y
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})}
D
≤
X
{\displaystyle \ D\leq X}
f
(
D
)
≤
Y
{\displaystyle \ f(D)\leq Y}
הגדרה: סוגים של הומומורפיזמים
בהינתן הומומורפיזם
f
:
X
→
Y
{\displaystyle \ f:X\rightarrow Y}
(
X
,
⋅
,
1
X
)
,
(
Y
,
+
,
0
Y
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})}
f
{\displaystyle \ f}
מונומורפיזם (או בעברית: שיכון) אםם
f
{\displaystyle \ f}
f
{\displaystyle \ f}
אפימורפיזם אםם
f
{\displaystyle \ f}
f
{\displaystyle \ f}
איזומורפיזם אםם
f
{\displaystyle \ f}
אם
f
{\displaystyle \ f}
X
=
Y
{\displaystyle \ X=Y}
f
{\displaystyle \ f}
אוטומורפיזם .
הטענות הבאות יחסית קלות ומושארות לקורא כתרגיל:
טענה: אפיון סוג המורפיזם בעזרת הגרעין והתמונה
בהינתן הומומורפיזם
f
:
X
→
Y
{\displaystyle \ f:X\rightarrow Y}
(
X
,
⋅
,
1
X
)
,
(
Y
,
+
,
0
Y
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})}
f
{\displaystyle \ f}
Im
(
f
)
=
Y
{\displaystyle \ {\text{Im}}(f)=Y}
f
{\displaystyle \ f}
ker
(
f
)
=
{
1
X
}
{\displaystyle \ {\text{ker}}(f)=\{1_{X}\}}
עריכה
בסעיף זה נדון במשמעות של שתי חבורות שמבחינת המבנה שלהן, הן בדיוק אותה החבורה. מה זה אומר? שההבדל היחיד בין שתי החבורות האלו הוא השמות של האיברים והסימון של הפעולה הביניארית. חבורות "זהות" שכאלה יקראו איזומורפיות , מלשון איזו = שווה, מורפיות=צורה, מיוונית.
הגדרה: חבורות איזומורפיות
החבורות
(
X
,
⋅
,
1
X
)
,
(
Y
,
+
,
0
Y
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})}
איזומורפיות אםם קיים הומומורפיזם
f
:
X
→
Y
{\displaystyle \ f:X\rightarrow Y}
f
{\displaystyle \ f}
במקרה זה נסמן
X
≅
Y
{\displaystyle \ X\cong Y}
(
X
,
⋅
)
≅
(
Y
,
+
)
{\displaystyle \ (X,\cdot )\cong (Y,+)}
טענה: יחס האיזומורפיזם הוא יחס שקילות
היחס
≅
{\displaystyle \ \cong }
הוכחה:
תהיינה
(
X
,
⋅
,
1
X
)
,
(
Y
,
+
,
0
Y
)
(
Z
,
♡
,
e
Z
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})\quad (Z,\heartsuit ,e_{Z})}
רפלקסיביות: צ"ל שמתקיים
X
≅
X
{\displaystyle \ X\cong X}
ϕ
:
X
→
X
{\displaystyle \ \phi :X\rightarrow X}
∀
t
∈
X
ϕ
(
t
)
=
t
{\displaystyle \ \forall t\in X\quad \phi (t)=t}
ϕ
{\displaystyle \ \phi }
סימטריות: נתון
X
≅
Y
{\displaystyle \ X\cong Y}
Y
≅
X
{\displaystyle \ Y\cong X}
נתון כי
X
≅
Y
{\displaystyle \ X\cong Y}
ϕ
:
X
→
Y
{\displaystyle \ \phi :X\rightarrow Y}
ϕ
{\displaystyle \ \phi }
ϕ
−
1
:
Y
→
X
{\displaystyle \ \phi ^{-1}:Y\rightarrow X}
ϕ
−
1
{\displaystyle \ \phi ^{-1}}
יהיו
a
,
b
∈
Y
{\displaystyle \ a,b\in Y}
a
′
,
b
′
∈
X
{\displaystyle \ a',b'\in X}
f
(
a
′
)
=
a
{\displaystyle \ f(a')=a}
f
(
b
′
)
=
b
{\displaystyle \ f(b')=b}
a
′
b
′
=
ϕ
−
1
(
a
)
ϕ
−
1
(
b
)
{\displaystyle \ a'b'=\phi ^{-1}(a)\phi ^{-1}(b)}
אבל
ϕ
(
a
′
b
′
)
=
ϕ
(
a
′
)
+
ϕ
(
b
′
)
=
a
+
b
{\displaystyle \ \phi (a'b')=\phi (a')+\phi (b')=a+b}
⇕
{\displaystyle \ \Updownarrow }
a
′
b
′
=
ϕ
−
1
(
a
+
b
)
{\displaystyle \ a'b'=\phi ^{-1}(a+b)}
⇓
{\displaystyle \ \Downarrow }
ϕ
−
1
(
a
+
b
)
=
ϕ
−
1
(
a
)
ϕ
−
1
(
b
)
{\displaystyle \ \phi ^{-1}(a+b)=\phi ^{-1}(a)\phi ^{-1}(b)}
כלומר,
ϕ
−
1
{\displaystyle \ \phi ^{-1}}
Y
≅
X
{\displaystyle \ Y\cong X}
טרנזיטיביות: נתון
X
≅
Y
{\displaystyle \ X\cong Y}
Y
≅
Z
{\displaystyle \ Y\cong Z}
X
≅
Z
{\displaystyle \ X\cong Z}
X
≅
Y
{\displaystyle \ X\cong Y}
ϕ
:
X
→
Y
{\displaystyle \ \phi :X\rightarrow Y}
Y
≅
Z
{\displaystyle \ Y\cong Z}
τ
:
Y
→
Z
{\displaystyle \ \tau :Y\rightarrow Z}
ידוע לנו ש
τ
∘
ϕ
{\displaystyle \ \tau \circ \phi }
τ
∘
ϕ
{\displaystyle \ \tau \circ \phi }
τ
∘
ϕ
{\displaystyle \ \tau \circ \phi }
X
≅
Z
{\displaystyle \ X\cong Z}
הלמה הבאה פשוטה להוכחה ומושארת לקורא כתרגיל:
משפט: כל חבורה ציקלית מסדר אינסופי איזומורפית לשלמים
תהי
(
X
,
⋅
,
1
X
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X})}
(
X
,
⋅
,
1
X
)
≅
(
Z
,
+
,
0
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X})\cong (\mathbb {Z} ,+,0)}
הוכחה:
מספיק לבנות מפורשות איזומורפיזם
f
:
Z
→
X
{\displaystyle \ f:\mathbb {Z} \rightarrow X}
a
∈
X
{\displaystyle \ a\in X}
X
=<
a
>
{\displaystyle \ X=<\!\!a\!\!>}
X
{\displaystyle \ X}
f
(
n
)
=
a
n
{\displaystyle \ f(n)=a^{n}}
נשים לב ש
f
{\displaystyle \ f}
X
{\displaystyle \ X}
חבורות חלקיות . לכן מספיק להוכיח ש
f
{\displaystyle \ f}
∀
n
,
m
∈
Z
f
(
n
+
m
)
=
a
n
+
m
=
a
n
a
m
=
f
(
n
)
f
(
m
)
{\displaystyle \ \forall n,m\in \mathbb {Z} \quad f(n+m)=a^{n+m}=a^{n}a^{m}=f(n)f(m)}
(המעברים מסתמכים על טענות מהפרק על חבורות חלקיות)
באופן דומה יוכל הקורא להוכיח את המשפט הבא:
משפט: כל חבורה ציקלית מסדר n איזומורפית לשלמים מודולו n
תהי
(
X
,
⋅
,
1
X
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X})}
o
(
X
)
=
n
{\displaystyle \ o(X)=n}
(
X
,
⋅
,
1
X
)
≅
(
Z
n
,
+
mod
n
,
0
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X})\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{\!\!\!\!\mod n},0)}
עריכה
ראינו בסעיפים הקודמים כי הרכבה של הומומורפיזמים היא הומומורפיזם. לכן, קבוצת כל ההומומורפיזמים של חבורה כלשהי
X
{\displaystyle \ X}
הגדרה: אנדומורפיזם
בהינתן
(
X
,
⋅
,
1
X
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X})}
f
:
X
→
X
{\displaystyle \ f:X\rightarrow X}
אנדומורפיזם .
(כלומר, אנדומורפיזם הוא הומומורפיזם מחבורה לעצמה.)
הגדרה: קבוצת האנדומורפיזמים
קבוצת כל האנדומורפיזמים של החבורה
(
X
,
⋅
,
1
X
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X})}
END
(
X
)
{\displaystyle \ {\text{END}}(X)}
טענה: חבורת האנדומורפיזמים
בהינתן
(
X
,
⋅
,
1
X
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X})}
(
END
(
X
)
,
∘
,
ID
)
{\displaystyle \ ({\text{END}}(X),\circ ,{\text{ID}})}
∀
x
∈
X
ID
(
x
)
=
x
{\displaystyle \ \forall x\in X\quad {\text{ID}}(x)=x}
הלמות הבאות הן פשוטות ומושארות לקורא כתרגיל:
למה
בהינתן
(
X
,
⋅
,
1
X
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X})}
o
(
X
)
>
2
{\displaystyle \ o(X)>2}
END
(
X
)
{\displaystyle \ {\text{END}}(X)}
לא חבורה אבאלית.
למה
בהינתן
(
X
,
⋅
,
1
X
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X})}
o
(
X
)
>
2
{\displaystyle \ o(X)>2}
X
≇
END
(
X
)
{\displaystyle \ X\not \cong {\text{END}}(X)}
עריכה
כעת נדבר על הח"ח החשובה ביותר של חבורת האנדומורפיזמים, חבורת האוטומורפיזמים.
הגדרה: קבוצת האוטומורפיזמים
בהינתן חבורה
(
X
,
⋅
,
1
X
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X})}
AUTO
(
X
)
{\displaystyle \ {\text{AUTO}}(X)}
A
(
X
)
{\displaystyle \ {\text{A}}(X)}
כתרגיל, יוכיח הקורא את הטענה הבאה:
טענה: חבורת האוטומורפיזמים היא ח"ח של חבורת האנדומורפיזמים
בהינתן
(
X
,
⋅
,
1
X
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X})}
A
(
X
)
≤
END
(
X
)
{\displaystyle \ {\text{A}}(X)\leq {\text{END}}(X)}
משפט קיילי חושף בפנינו קשר בסיסי בין חבורה לחבורת הסימטריה שלה.
משפט: משפט קיילי
החבורה
(
X
,
⋅
,
1
X
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X})}
Sym
(
X
)
{\displaystyle \ {\text{Sym}}(X)}
כלומר,
X
{\displaystyle \ X}
Sym
(
X
)
{\displaystyle \ {\text{Sym}}(X)}
הוכחה:
מספיק למצוא מונומורפיזם
τ
:
X
→
Sym
(
X
)
{\displaystyle \ \tau :X\rightarrow {\text{Sym}}(X)}
בהינתן
a
∈
X
{\displaystyle \ a\in X}
ϕ
a
:
X
→
X
{\displaystyle \ \phi _{a}:X\rightarrow X}
ϕ
a
(
t
)
=
a
t
{\displaystyle \ \phi _{a}(t)=at}
ϕ
a
{\displaystyle \ \phi _{a}}
כעת, נגדיר
τ
:
X
→
Sym
(
X
)
{\displaystyle \ \tau :X\rightarrow {\text{Sym}}(X)}
τ
(
a
)
=
ϕ
a
{\displaystyle \ \tau (a)=\phi _{a}}
τ
{\displaystyle \ \tau }
נשים לב לעובדה הבאה, יהיו
a
,
b
∈
X
{\displaystyle \ a,b\in X}
(
ϕ
a
∘
ϕ
b
)
(
t
)
=
(
1
)
ϕ
a
(
ϕ
b
(
t
)
)
=
(
2
)
ϕ
a
(
b
t
)
=
(
3
)
a
(
b
t
)
=
(
4
)
(
a
b
)
t
=
(
5
)
ϕ
a
b
(
t
)
{\displaystyle \ (\phi _{a}\circ \phi _{b})(t)=^{(1)}\phi _{a}(\phi _{b}(t))=^{(2)}\phi _{a}(bt)=^{(3)}a(bt)=^{(4)}(ab)t=^{(5)}\phi _{ab}(t)}
הסבר מעברים:
ϕ
a
{\displaystyle \ \phi _{a}}
ϕ
b
{\displaystyle \ \phi _{b}}
ϕ
a
b
{\displaystyle \ \phi _{ab}}
(
ϕ
a
∘
ϕ
b
)
=
ϕ
a
b
{\displaystyle \ (\phi _{a}\circ \phi _{b})=\phi _{ab}}
לכן, בהינתן
a
,
b
∈
X
{\displaystyle \ a,b\in X}
τ
(
a
b
)
=
ϕ
a
b
=
ϕ
a
∘
ϕ
b
=
τ
(
a
)
∘
τ
(
b
)
{\displaystyle \ \tau (ab)=\phi _{ab}=\phi _{a}\circ \phi _{b}=\tau (a)\circ \tau (b)}
מכאן ש
τ
{\displaystyle \ \tau }
כעת נוכיח כי
τ
{\displaystyle \ \tau }
a
,
b
∈
X
{\displaystyle \ a,b\in X}
τ
(
a
)
=
τ
(
b
)
{\displaystyle \ \tau (a)=\tau (b)}
⇕
{\displaystyle \ \Updownarrow }
ϕ
a
=
ϕ
b
{\displaystyle \ \phi _{a}=\phi _{b}}
⇕
{\displaystyle \ \Updownarrow }
∀
t
∈
X
ϕ
a
(
t
)
=
ϕ
b
(
t
)
{\displaystyle \ \forall t\in X\quad \phi _{a}(t)=\phi _{b}(t)}
⇕
{\displaystyle \ \Updownarrow }
∀
t
∈
X
a
t
=
b
t
{\displaystyle \ \forall t\in X\quad at=bt}
⇕
{\displaystyle \ \Updownarrow }
a
=
b
{\displaystyle \ a=b}
מכאן ש
τ
{\displaystyle \ \tau }
