מבנים אלגבריים/חבורות/תת-חבורות

לאחר שדנו בתכונות הבסיסיות של חבורות וראינו מספר דוגמאות לחבורות, הגיע הזמן שנדבר על מה קורה כשיש חבורה "בתוך" חבורה. כלומר, בהינתן חבורה $G$ עם פעולה בינארית $*$ ובהינתן $H\subseteq G$ נרצה לשאול, האם גם $H$ היא חבורה עם הפעולה הבינארית של $G$? בפרק זה נדון בתנאים שמבטיחים שאכן $H$ תהיה חבורה ובתכונות של חבורות כאלה, שבאופן טבעי נקראות תת-חבורות.

הגדרה ודוגמאות

הגדרה: תת־חבורה בהינתן חבורה $(G,*)$, התת־קבוצה $H\subseteq G$ תיקרא תת־חבורה או חבורה חלקית של $G$ אם ורק אם הקבוצה $H$ יחד עם הפעולה $*$ היא חבורה. בד"כ מסמנים $H$ תת־חבורה של $G$ ע"י $H\leq G$

ההגדרה הזו היא אמנם ההגדרה הפורמלית של תת־חבורה, אבל לא רצוי להשתמש בה כדי להוכיח שתת־קבוצה היא גם תת־חבורה, שכן זה ידרוש מאיתנו לבדוק שכל האקסיומות של חבורה מתקיימות עבור $H$. הטענה הבאה תראה שנחוצה לנו הרבה פחות עבודה.

טענה: תהי $(G,*)$ חבורה ותהי $H\subseteq G$. תת־קבוצה זו היא תת־חבורה אם ורק אם מתקיים: $x,y\in H:\quad a*b\in H$ $a\in H:\quad a^{-1}\in H$

הוכחה: $\Leftarrow$ טריויאלי ומושאר לקורא כתרגיל.

$\Rightarrow$ תהי $H\subseteq G$ נניח שמתקיימים 1 ו־2 ונוכיח שכל האקסיומות של חבורה מתקיימות.

סגירות: נובע אוטומטית מ־1.

אסוציאטיביות: נובעת מ־$G$.

קיום איבר נייטרלי: יהי $a\in G$ אזי לפי 2 מתקיים $a^{-1}\in G$. ולכן לפי 1 מתקיים $e_{G}=a*a^{-1}\in G$.

קיום איבר נגדי:נובע ישירות מ־2.

הטענה הבאה היא פשוט ונשאירה לקורא כתרגיל:

טענה: תהי $G$ חבורה אבלית, אזי כל תת־חבורה שלה היא חבורה אבלית.

הטענה הבאה תראה לנו שעוד פחות עבודה נחוצה לנו כדי להוכיח שתת־קבוצה היא תת־חבורה:

טענה: תהי $G$ חבורה ותהי $H\subseteq G$. תת־קבוצה זו היא תת־חבורה אם ורק אם מתקיים $$a,b\in H\,\Rightarrow \,a*b^{-1}\in H$$

הוכחה:

($\Leftarrow$) טריויאלי ונובע ישירות מהטענה הקודמת.

($\Rightarrow$) יהי $a\in H$ אזי לפי התנאי מתקיים $e_{G}=a*a^{-1}\in H$.

מכאן, שוב לפי התנאי נקבל: $a^{-1}=e_{G}*a^{-1}\in H$

ולכן מתקיים $a*a=a*(a^{-1})^{-1}\in H$, שוב לפי התנאי, מתקיים אם $a,b\in H$ אזי לפי מה שהוכחנו מתקיים $$a*b=(ab^{-1})((b*b)^{-1})^{-1}\in H$$ פירוט המעברים מושאר לקורא כתרגיל. ולפי הטענה הראשונה, סיימנו.

קבוצות יוצרות ותת־חבורות ציקליות

חבורה חלקית ציקלית

בסעיף זה נשים לב לתת־חבורות מאוד מיוחדות שמשחקות תפקיד חשוב בחקר של המבנה של החבורה.

תהי $G$ חבורה. יהי $a\in G$ איבר כלשהוא בחבורה. נסתכל על הקבוצה: $$\langle a\rangle =\{a^{n}:n\in \mathbb {Z} \}$$ קבוצה זו מוגדרת היטב לפי ההגדרה בפרק הקודם.

קל לראות שקבוצה זו היא תת־חבורה של $G$ (הקורא יכול להוכיח זאת כתרגיל). תת־חבורה זו נקראת תת־חבורה ציקלית של $G$ הנוצרת ע"י $a$ או בקיצור תת־חבורה ציקלית הנוצרת ע"י $a$.

הגדרה: חבורה $G$ תיקרא חבורה ציקלית אם ורק אם קיים $a\in G$ עבורו $\langle a\rangle =G$.

דוגמאות

1. נסתכל על $\mathbb {Z}$ עם פעולת החיבור וניקח את האיבר 1, אזי קל לראות שמתקיים $\mathbb {Z} =\langle 1\rangle =\langle -1\rangle$. לכן החבורה $\mathbb {Z}$ היא חבורה ציקלית.

קבוצה יוצרת

תהי $W\subseteq G$ (לאו דווקא תת־חבורה) נשאל, מהי התת־החבורה הקטנה ביותר המכילה את $W$? כדי לענות על שאלה זו ביעילות נרשום ראשית מספר הגדרות: $${\begin{aligned}S_{0}=W\\\forall n\in \mathbb {N} \quad S_{n+1}={\Big \{}x^{k_{1}}y^{k_{2}}:x,y\in S_{n},k_{1},k_{2}\in \mathbb {Z} {\Big \}}\end{aligned}}$$

טענה: יהיו $m,n\in \mathbb {N}$ כאשר $m<n$, אזי מתקיים $S_{m}\subseteq S_{n}$.

הוכחה: נוכיח זאת באינדוקציה על $n-m$.

בסיס האינדוקציה: אם $n-m=0$, אז ברור שהטענה מתקיימת.

אם $n-m=1$ אזי בעצם צריך להוכיח שמתקיים $S_{n}\subseteq S_{n+1}$. יהי $a\in S_{n}$. אזי מתקיים:

$a=a^{1}*a^{0}\in S_{n+1}$

צעד האינדוקציה: נניח שהטענה נכונה עבור $n-m=k$, נרצה להוכיח את נכונות הטענה עבור $n-m=k+1$. לפי בסיס האינדוקציה מתקיים $S_{n+k}\subseteq S_{n+k+1}$ ולפי הנחת האינדוקציה מתקיים $S_{n}\subseteq S_{n+k}$. לכן מטרינזטיביות יחס ההכלה נקבל שמתקיים $S_{n}\subseteq S_{n+k+1}$.

לכן, מנכונות עיקרון האינדוקציה הבסיס והצעד, הטענה הוכחה.

הגדרה: החבורה החלקית הנוצרת ע"י תת־קבוצה בהנתן $W\subseteq G$, הקבוצה הנוצרת ע"י $W$ היא $\langle W\rangle =\bigcup _{n\in \mathbb {N} \cup \{0\}}S_{n}$ כאשר $S_{n}$ מוגדרות כלעיל.

טענה: הקבוצה $\langle W\rangle$ היא תת־חבורה של $G$.

הוכחה: מספיק להראות שהקבוצה $\langle W\rangle$ סגורה תחת כפל ומכילה את ההפכי של כל איבר בה.

סגירות: יהיו $a,b\in \langle W\rangle$. לכן קיימים $m,n\in \mathbb {N}$ עבורם $a\in S_{m},b\in S_{n}$ ולכן, לפי הלמה שהוכחנו מקודם, נקבל: $a,b\in S_{\max\{m,n\}}$ ולכן $a*b\in S_{\max\{m,n\}+1}$ לפי ההגדרה של $\{S_{n}\}_{n=1}^{\infty }$. ומכאן נקבל $a*b\in \langle W\rangle$.

קיום של הפכי: יהי $a\in \langle W\rangle$ מכאן קיים $n\in \mathbb {N}$ עבורו $a\in S_{n}$ ולכן מתקיים $a^{-1}=a^{-1}*a^{0}\in S_{n+1}$ ומכאן $a^{-1}\in \langle W\rangle$.

ולכן $\langle W\rangle$ היא חבורה חלקית של $G$.

כמו במקרה של חבורה ציקלית גם כאן נגדיר:

הגדרה: חבורה הנוצרת מקבוצה בהינתן חבורה $G$ אם קיימת תת־קבוצה $W\subseteq G$ עבורה <math\langle W\rangle=G</math>, אזי נאמר כי $G$ נוצרת ע"י $W$ או $W$ היא קבוצה יוצרת של $G$.

משפט: התת-חבורה $\langle W\rangle$ היא החבורה החלקית הקטנה ביותר של $G$ אשר מכילה את $W$.

הוכחה: תהי $H\subseteq G$ תת־חבורה עבורה $W\subseteq H$. צריך להוכיח שמתקיים $\langle W\rangle \subseteq H$.

מספיק להוכיח שלכל $n\in \mathbb {N}$ מתקיים $S_{n}\subseteq H$. נוכיח זאת באינדוקציה על $n$.

בסיס האינדוקציה: עבור $n=0$ מתקיים $S_{0}=W\subseteq H$ לפי ההגדרה של $H$.

צעד האינדוקציה: יהי $k\in \mathbb {N}$ כך שהטענה נכונה עבור $n=k$ נוכיח את נכונות הטענה עבור $n=k+1$. כלומר, לפי הנחת האינדוקציה מתקיים $S_{k}\subseteq H$ אבל $H$ חבורה חלקית ולכן סגורה לכפל של החבורה, ומכאן $S_{k+1}\subseteq H$ לפי התכונות של סדרת הקבוצות $\{S_{n}\}_{n=1}^{\infty }$.

לכן, לפי נכונות עיקרון אינדוקציה, הבסיס והצעד, הטענה הוכחה לכל $n\in \mathbb {N}$, ומכאן המשפט.

סדר של חבורה וסדר של איבר בחבורה

בסעיף ה נשים דגש מיוחד על חבורות סופיות, אלו הן חבורות שמספר האיברים שלהן הוא סופי.

הגדרה: סדר של חבורה בהינתן חבורה סופית $G$, הסדר של $G$ הוא מספר איברי החבורה, והוא מסומן ${\text{ord}}(G)$ או $|G|$.

דוגמאות

הגדרה: סדר של איבר בחבורה בהינתן $a\in G$ הסדר של $a$ הוא המספר $0\neq n\in \mathbb {N}$ הקטן ביותר כך שמתקיים $a^{n}=e_{G}$ הסדר יסומן ${\text{ord}}(a)$, אם לא קיים $n$ כזה נאמר שהסדר של $a$ הוא אינסופי.

טענה: אם עבור $a\in G$ מתקיים ${\text{ord}}(a)$ אינסופי אזי מתקיים: $\forall i,j\in \mathbb {Z} :\quad a^{i}=a^{j}\,\Rightarrow \,i=j$

הוכחה: יהיו $i,j\in \mathbb {Z}$ כלשהם. מתקיים

$a^{i}=a^{j}\,\Rightarrow \,a^{i}*a^{-j}=e_{G}\,\Rightarrow \,a^{i-j}=1_{G}$

אבל נתון כי ${\text{ord}}(a)$ אינסופי ולכן זה יתכן אם ורק אם מתקיים $i=j$.

כעת נוכיח משפט מעניין הנוגע לחבורות ציקליות ולסדר של איבר:

משפט: המבנה של תת-חבורה ציקלית אם מתקיים $0\neq {\text{ord}}(a)=n\in \mathbb {N}$ אזי מתקיים $\langle a\rangle ={\bigl \{}e_{G},a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}{\bigr \}}$

הוכחה: מספיק להוכיח $\langle a\rangle \subseteq {\bigl \{}e_{G},a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}{\bigr \}}$. יהי $a^{m}\in \langle a\rangle$ כאשר $m\in \mathbb {Z}$. אם $0\leq m\leq n-1$ אז סיימנו.

אחרת, נחלק את $m$ ב־$n$ עם שארית. ומכאן נקבל שקיימים $q,r\in \mathbb {Z}$ כך שמתקיים $m=qn+r$ כאשר $0\leq r\leq n-1$ וגם $q\in \mathbb {Z}$. מכאן: $$a^{m}=^{(1)}a^{nq+r}=^{(2)}a^{nq}*a^{r}=^{(3)}(a^{n})^{q}*a^{r}=^{(4)}e_{G}^{q}*a^{r}=^{(5)}e_{G}*a^{r}=^{(6)}a^{r}\in {\bigl \{}e_{G},a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}{\bigr \}}$$ ומכאן הטענה.

הסבר מעברים:
(1) $m=qn+r$
(2) טענה 8 בפרק הקודם
(3) טענה 10 בפרק הקודם
(4) תכונות של הסדר של איבר
(5) תכונות של איבר נייטרלי
(6) תכונות של איבר נייטרלי

טענות אלו נובעות בנקל מהמשפט לעיל:

טענה: לכל $a\in G$ מתקיים ${\text{ord}}(a)={\text{ord}}(\langle a\rangle )$, בהנחה ששניהם סופיים. בנוסף מתקיים ${\text{ord}}(a)$ סופי אם ורק אם $\langle a\rangle$ היא קבוצה סופית.

הוכחה: נוכיח את חלקו האחרון של משפט זה.

$\Leftarrow$ נניח כי ${\text{ord}}(a)$ סופי. מכאן, לפי המשפט הקודם, סיימנו.

$\Rightarrow$ נניח כי $\langle a\rangle$ היא קבוצה סופית. כעת, נניח בשלילה כי ${\text{ord}}(a)$ הוא אינסופי, לפי הטענה הראשונה בתת־סעיף זה נקבל כי יש התאמה חח"ע ועל בין $\mathbb {Z}$ לבין $\langle a\rangle$, הנתונה על ידי $\varphi (n)=a^{n}$ לכל $n\in \mathbb {Z}$, בסתירה לכך שהקבוצה $\langle a\rangle$ סופית.

טענה: אם החבורה $G$ היא חבורה סופית, אז לכל $a\in G$ מתקיים ${\text{ord}}(a)$ סופי.

הפרק הקודם: חבורות חשובות

תת-חבורות

הפרק הבא: מחלקות (קוסטים)