מבנים אלגבריים/חבורות/תת-חבורות

לאחר שדנו בתכונות הבסיסיות של חבורות וראינו מספר דוגמאות לחבורות, הגיע הזמן שנדבר על מה קורה כשיש חבורה "בתוך" חבורה. כלומר, בהינתן חבורה $\ G$ עם פעולה בינארית $\ \cdot$ ובהינתן $H\subseteq G$ נרצה לשאול, האם גם $\ H$ היא חבורה עם הפעולה הבינארית של $\ G$? בפרק זה נדון בתנאים שמבטיחים שאכן $\ H$ תהיה חבורה ובתכונות של חבורות כאלה, שבאופן טבעי נקראות תת-חבורות.

הגדרה ודוגמאות

הגדרה: תת-חבורה בהינתן חבורה $\ (G,\cdot )$ , תת הקבוצה $H\subseteq G$ תיקרא תת-חבורה או חבורה חלקית של $\ G$ אםם הקבוצה $\ H$ יחד עם הפעולה $\ \cdot$ היא חבורה. בד"כ מסמנים ש $\ H$ ח"ח של $\ G$ ע"י $\ H\leq G$

ההגדרה הזו היא אמנם ההגדרה הפורמלית של תת חבורה, אבל לא רצוי להשתמש בה כדי להוכיח שתת-קבוצה היא גם תת-חבורה, שכן, זה ידרוש מאיתנו לבדוק שכל האקסיומות של חבורה מתקיימות עבור $\ H$. הטענה הבאה תראה לנו שנחוצה לנו הרבה פחות עבודה.

טענה: תהי $\ (G,\cdot )$ חבורה ותהי $H\subseteq G$. תת-קבוצה זו היא תת-חבורה אםם מתקיים: $\ x,y\in H\Rightarrow xy\in H$ $\ a\in H\Rightarrow a^{-1}\in H$

הוכחה: $\Leftarrow$ טריבאלי ומושאר לקורא כתרגיל.

$\Rightarrow$ תהי $H\subseteq G$ נניח שמתקיימים 1 ו2 ונוכיח שכל האקסיומות של חבורה מתקיימות.
סגירות: נובע אוטומאטית מ1.
אסוציאטיביות: נובעת מ$\ G$.
קיום איבר נייטרלי: יהי $\ a\in G$ אזי לפי 2, מתקיים $\ a^{-1}\in G$. ולכן לפי 1 מתקיים $\ 1_{G}=a\cdot a^{-1}\in G$.
קיום איבר נגדי:נובע ישירות מ2.

הטענה הבאה היא פשוט ונשאירה לקורא כתרגיל:

טענה: תהי $\ G$ חבורה אבאלית, אזי כל תת-חבורה שלה היא חבורה אבאלית.

הטענה הבאה תראה לנו שעוד פחות עבודה נחוצה לנו כדי להוכיח שתת-קבוצה היא תת-חבורה:

טענה: תהי $\ G$ חבורה ותהי $H\subseteq G$. תת-קבוצה זו היא תת-חבורה אםם מתקיים $\ x,y\in H\Rightarrow xy^{-1}\in H$

הוכחה: ($\Leftarrow$) טריבאלי ונובע ישירות מהטענה הקודמת

($\Rightarrow$)יהי $\ a\in H$ אזי לפי התנאי מתקיים $\ 1_{G}=a\cdot a^{-1}\in H$

מכאן, שוב לפי התנאי נקבל: $\ a^{-1}=1_{G}\cdot a^{-1}\in H$

ולכן מתקיים $\ a\cdot a=a\cdot (a^{-1})^{-1}\in H$, שוב לפי התנאי, מתקיים אם $\ a,b\in H$ אזי לפי מה שהוכחנו מתקיים

$a\cdot b=(ab^{-1})((b\cdot b)^{-1})^{-1}\in H$

פירוט המעברים מושאר לקורא כתרגיל. ולפי הטענה הראשונה, סיימנו.

קבוצות יוצרות ותת-חבורות ציקליות

חבורה חלקית ציקלית

בסעיף זה נשים לב לתת-חבורות מאוד מיוחדות שמשחקות תפקיד חשוב בחקר של המבנה של החבורה. תהי $\ G$ חבורה. ויהי $\ a\in G$ איבר כלשהו בחבורה נסתכל על הקבוצה:

$\ <a>=\{a^{n}|n\in \mathbb {Z} \}$

קבוצה זו מוגדרת היטב לפי ההגדרה בפרק הקודם. קל לראות שקבוצה זו היא תת חבורה של $\ G$ (הקורא יכול להוכיח את זה כתרגיל). תת חבורה זו נקראת תת-חבורה ציקלית של $\ G$ הנוצרת ע"י $\ a$ או בקיצור תת-חבורה ציקלית הנוצרת ע"י $\ a$.

הגדרה: חבורה $\ G$ תיקרא חבורה ציקלית אםם קיים $\ a\in G$ כך ש $\ <a>=G$.

דוגמאות

1. נסתכל על $\mathbb {Z}$ עם פעולת החיבור וניקח את האיבר 1, אזי קל לראות שמתקיים $\ \mathbb {Z} =<1>=<-1>$ .לכן החבורה $\mathbb {Z}$ היא חבורה ציקלית.

קבוצה יוצרת

תהי $W\subseteq G$ (לאו דווקא תת-חבורה) נשאל, מהי התת החבורה הקטנה ביותר המכילה את $\ W$? כדי לענות על שאלה זו ביעילות נרשום ראשית מספר הגדרות:

$\ S_{0}=W$ $\forall n\in \mathbb {N} \quad S_{n+1}=\{x^{k_{1}}y^{k_{2}}|x,y\in S_{n},\quad k_{1},k_{2}\in \mathbb {Z} \}$

טענה: יהיו $\ m,n\in \mathbb {N}$ כך ש $\ n<m$, אזי מתקיים $\ S_{n}\subseteq S_{m}$.

הוכחה: נוכיח זאת באינדוקציה על $\ m-n$.

בסיס האינדוקציה: אם $\ m-n=0$, אז ברור שהטענה מתקיימת.

אם $\ m-n=1$, אזי בעצם, צריך להוכיח שמתקיים $\ S_{n}\subseteq S_{n+1}$. יהי $\ a\in S_{n}$. אזי מתקיים:

$a=a^{1}a^{0}\in S_{n+1}$

צעד האינדוקציה: נניח שהטענה נכונה עבור $\ m-n=k$, נרצה להוכיח את נכונות הטענה עבור $\ m-n=k+1$. לפי בסיס האינדוקציה מתקיים $\ S_{n+k}\subseteq S_{n+k+1}$ ולפי הנחת האינדוקציה מתקיים $\ S_{n}\subseteq S_{n+k}$, לכן, מטרינזטיביות יחס ההכלה נקבל שמתקיים $\ S_{n}\subseteq S_{n+k+1}$.

לכן, מנכונות עיקרון האינדוקציה הבסיס והצעד, הטענה הוכחה.

הגדרה: החבורה החלקית הנוצרת ע"י תת-קבוצה בהינתן $W\subseteq G$, הקבוצה הנוצרת ע"י $\ W$ היא $<\!\!W\!\!>=\bigcup _{n\in \mathbb {N} \cup \{0\}}S_{n}$ כאשר $\ S_{n}$ מוגדרות כלעיל.

טענה: הקבוצה $\ <\!\!W\!\!>$ היא תת-חבורה של $\ G$.

הוכחה: מספיק להראות שהקבוצה $\ <\!\!W\!\!>$ סגורה תחת כפל ומכילה את ההפכי של כל איבר בה.

סגירות: יהיו $\ a,b\in <W>$ לכן, קיימים $\ m,n\in \mathbb {N}$ כך ש $\ a\in S_{n},b\in S_{m}$ ולכן, לפי הלמה שהוכחנו מקודם, נקבל: $\ a,b\in S_{max\{n,m\}}$ ולכן: $\ ab\in S_{max\{n,m\}+1}$ לפי ההגדרה של $\ (S_{n})_{n=1}^{\infty }$. ומכאן נקבל $\ ab\in <\!\!W\!\!>$.

קיום של הפכי: יהי $\ a\in <\!\!W\!\!>$ מכאן קיים $\ n\in \mathbb {N}$ כך ש$\ a\in S_{n}$ ולכן מתקיים $a^{-1}=a^{-1}a^{0}\in S_{n+1}$ ומכאן $\ a^{-1}\in <\!\!W\!\!>$.

ולכן $\ <\!\!W\!\!>$ היא חבורה חלקית של G.

כמו במקרה של חבורה ציקלית גם כאן נגדיר:

הגדרה: חבורה הנוצרת מקבוצה בהינתן חבורה $\ G$ אם קיימת תת-קבוצה $W\subseteq G$ כך ש $<\!\!W\!\!>=G$, אזי נאמר ש $\ G$ נוצרת ע"י $\ W$ או ש$\ W$ היא קבוצה יוצרת של $\ G$.

משפט: התת-חבורה $\ <\!\!W\!\!>$ היא החבורה החלקית הקטנה ביותר של $\ G$ אשר מכילה את $\ W$.

הוכחה: תהי $H\subseteq G$ ח"ח כך ש$W\subseteq H$. צריך להוכיח שמתקיים $<\!\!W\!\!>\subseteq H$.

מספיק להוכיח שלכל $\ n\in \mathbb {N}$ מתקיים $S_{n}\subseteq H$. נוכיח זאת באינדוקציה על $\ n$.

בסיס האינדוקציה: עבור $\ n=0$ מתקיים $\ S_{0}=W\subseteq H$ לפי ההגדרה של $\ H$.

צעד האינדוקציה: יהי $\ k\in \mathbb {N}$ כך שהטענה נכונה עבור $\ n=k$ נוכיח את נכונות הטענה עבור $\ n=k+1$. כלומר, לפי הנחת האינדוקציה מתקיים $S_{k}\subseteq H$ אבל $\ H$ חבורה חלקית ולכן סגורה לכפל של החבורה, ומכאן $S_{k+1}\subseteq H$ לפי התכונות של סדרת הקבוצות $\ (S_{n})_{n=1}^{\infty }$.

לכן, לפי נכונות עיקרון אינדוקציה, הבסיס והצעד, הטענה הוכחה לכל $\ n\in \mathbb {N}$, ומכאן המשפט.

סדר של חבורה וסדר של איבר בחבורה

בסעיף ה נשים דגש מיוחד על חבורות סופיות, אלו הן חבורות שמספר האיברים שלהן הוא סופי.

הגדרה: סדר של חבורה בהינתן חבורה סופית $\ G$, הסדר של $\ G$ הוא מספר האיברים של החבורה, והוא מסומן ב$\ o(G)$ או ב$\ |G|$ .

דוגמאות

הגדרה: סדר של איבר בחבורה בהינתן $\ a\in G$ הסדר של $\ a$ הוא המספר $\ 0\neq n\in \mathbb {N}$ הקטן ביותר כך שמתקיים $\ a^{n}=1_{G}$ הסדר של איבר $\ a$ יסומן ב$\ o(a)$, אם לא קיים $\ n$ שכזה נאמר שהסדר של $\ a$ הוא אינסופי.

טענה: אם עבור $\ a\in G$ מתקיים $\ o(a)$ אינסופי אזי מתקיים: $\forall i,j\in \mathbb {Z} \quad a^{i}=a^{j}\Rightarrow i=j$

הוכחה: יהיו $\ i,j\in \mathbb {Z}$ כלשהם. מתקיים

$a^{i}=a^{j}\Rightarrow a^{i}a^{-j}=1_{G}\Rightarrow a^{i-j}=1_{G}$

אבל נתון כי $\ o(a)$ אינסופי ולכן זה ייתכן אםם מתקיים $i=j$.

כעת נוכיח משפט מעניין הנוגע לחבורות ציקליות ולסדר של איבר:

משפט: המבנה של תת-חבורה ציקלית אם מתקיים $\ 0\neq o(a)=n\in \mathbb {N}$ אזי מתקיים $<a>=\{1_{G},a,a^{2},\dots ,a^{n-1}\}$

הוכחה: מספיק להוכיח $<a>\subseteq \{1_{G},a,a^{2},\dots ,a^{n-1}\}$. יהי $\ a^{m}\in <a>$ כאשר $\ m\in \mathbb {Z}$. אם $\ 0\leq m\leq n-1$, אז סיימנו.

אחרת, נחלק את $\ m$ ב $\ n$ עם שארית. ומכאן נקבל שקיימים $\ q,r\in \mathbb {Z}$ כך שמתקיים $m=nq+r$ כאשר $\ 0\leq r<n$ וגם $\ q\in \mathbb {Z}$. מכאן:

$a^{m}=^{(1)}a^{nq+r}=^{(2)}a^{nq}a^{r}=^{(3)}(a^{n})^{q}a^{r}=^{(4)}1_{G}^{q}a^{r}=^{(5)}1_{G}a^{r}=^{(6)}a^{r}\in \{1_{G},a,a^{2},\dots ,a^{n-1}\}$

ומכאן הטענה.

הסבר מעברים:
(1) $\ m=nq+r$
(2) טענה 8 בפרק הקודם
(3) טענה 10 בפרק הקודם
(4) תכונות של הסדר של איבר
(5) תכונות של איבר נייטרלי
(6) תכונות של איבר נייטרלי

טענות אלו נובעת בנקל מהמשפט לעיל:

טענה: לכל $\ a\in G$ מתקיים $\ o(a)=o(<a>)$, בהנחה ששניהם סופיים. בנוסף מתקיים, $\ o(a)$ סופי אםם $\ <a>$ היא קבוצה סופית.

הוכחה: נוכיח את החלק האחרון של משפט זה.

$\Leftarrow$ נניח ש$\ o(a)$ סופי, מכאן, לפי המשפט הקודם, סיימנו.

$\Rightarrow$ נניח ש$\ <a>$ היא קבוצה סופית. כעת, נניח בשלילה כי $\ o(a)$ הוא אינסופי, לפי הטענה הראשונה בתת-סעיף זה נקבל כי יש התאמה חח"ע ועל בין $\mathbb {Z}$ לבין $\ <a>$, הנתונה על ידי $\ \phi (n)=a^{n}$ לכל $\ n\in \mathbb {Z}$, בסתירה לכך שהקבוצה $\ <a>$ היא קבוצה סופית.

טענה: אם החבורה $\ G$ היא חבורה סופית, אז לכל $\ a\in G$ מתקיים $\ o(a)$ סופי.

הפרק הקודם: חבורות חשובות

תת-חבורות

הפרק הבא: מחלקות (קוסטים)