מבנים אלגבריים/חבורות/חבורות פתירות

סדרות נורמאליות וסדרות הרכב

הגדרות

הגדרה: סדרה נורמאלית סדרה נורמלית של חבורה $\ G$ היא שרשרת של תת חבורות, שכל אחת היא תת חבורה נורמלית של קודמתה. כלומר: $\ G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \ldots \triangleright G_{k}$

הגדרה: גורם הרכב בהינתן $\ G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \ldots \triangleright G_{k}$ סדרה נורמאלית. חבורת המנה $\ G_{i}/G_{i+1}$ תיקרא גורם הרכב של הסדרה.

הגדרה: עידון של סדרה עידון של סדרה הוא סדרה ארוכה יותר, הכוללת את כל תת-החבורות של הסדרה הקודמת. אפשר לעדן סדרה נתונה אם קיימת חבורה $\ L$ שמקיימת $\ G_{i}\triangleright L\triangleright G_{i+1}$, $\ G_{i}\neq L\neq G_{i+1}$. במקרה זה הסדרה $\ G=G_{0}\triangleright \ldots \triangleright G_{i}\triangleright L\triangleright G_{i+1}\triangleright \ldots \triangleright G_{k}$ היא עידון של הסדרה המקורית.

הגדרה: סדרות שקולות בהינתן $\ G$ חבורה, הסדרות הנורמאליות: $\ G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \ldots \triangleright G_{n}$ $\ G=H_{0}\triangleright H_{1}\triangleright \ldots \triangleright H_{m}$ יקראו שקולות אםם n=m וכל גורמי הרכב מתאימים הם איזומרפיים.

הגדרה: סדרת הרכב בהינתן $\ G$ חבורה, סדרה נורמאלית שלה $\ G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \ldots \triangleright G_{k}$ תיקרא סדרת הרכב אםם $\ G_{k}=\{e\}$ ואין לה שום עידון.

הלמה של צסנהאוס (Zassenhaus)

למה "הלמה של צסנהאוס (Zassenhaus)" תהי $\ G$ חבורה כך ש $\ A,A',B,B'\leq G$ וגם $\ A\triangleleft A'$ ו $\ B\triangleleft B'$. אזי מתקיים: $\ A(A'\cap B)\triangleleft A(A'\cap B')$ וגם $\ B(A\cap B')\triangleleft B(A'\cap B')$ וגם $\ {\frac {A(A'\cap B')}{A(A'\cap B)}}\cong {\frac {B(A'\cap B')}{B(A\cap B')}}$

משפט העידון של שרייר (Schrier)

משפט: בהינתן $\ G$ חבורה עם סדרות נורמאליות $\ G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \ldots \triangleright G_{n}$ $\ G=H_{0}\triangleright H_{1}\triangleright \ldots \triangleright H_{m}$ אז קיימים להם עידונים שקולים.

חבורות פתירות

הגדרה

הגדרה: חבורה פתירה חבורה $\ G$ תיקרא פתירה אםם יש לה סדרה נורמלית סופית כך שכל גורם הרכב הוא חבורה אבאלית.

משפטים יסודיים

הפרק הקודם: משפטי האיזומורפיזמים

חבורות פתירות

הפרק הבא: פעולה של חבורה על קבוצה