באחד הפרקים הקודמים דיברנו על מחלקות של ח"ח ועל כך שבאיזשהו מובן, המחלקות "מחלקות" את החבורה ועל עיקרון זה בעצם נשען משפט לגרנז' שהוכח בפרק הנ"ל. כעת עולה שאלה חשובה, לאחר ש"חילקנו" את החבורה, האם נוכל להשרות מבנה של חבורה על החלקים החדשים שנוצרו? כמובן שסתם חבורה לא תספיק ונרצה חבורה שיהיה לה קשר כלשהו עם המבנה שהתחלנו איתו והמבנה של הח"ח שהשתמשנו בה.
על השאלה לעיל נענה בהרחבה בפרק הבא, ובפרק זה ניתן אפיון מעניין של ח"ח מסוימות שהן, כפי שיתברר, החבורות החלקיות הנחוצות כדי לבצע את ה"חלוקה" בצורה כזו שהשאלה לעיל תיענה בחיוב.
עריכה
הגדרה: חבורה חלקית נורמאלית
תהי חבורה
(
X
,
⋅
,
1
X
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X})}
D
≤
X
{\displaystyle \ D\leq X}
חבורה חלקית נורמאלית אםם מתקיים:
∀
x
∈
X
x
D
=
D
x
{\displaystyle \ \forall x\in X\quad xD=Dx}
ובמקרה זה נסמן:
N
◃
G
{\displaystyle \ N\triangleleft G}
קל להיווכח שכל חבורה היא חח"נ (חבורה חלקית נורמאלית) של עצמה וכן לגבי החבורה החלקית שמכילה את האיבר הניטרלי בלבד.
הוכחה:
(
1
)
⇒
(
2
)
{\displaystyle \ (1)\Rightarrow (2)}
נניח
∀
a
∈
G
g
−
1
N
g
⊆
N
{\displaystyle \ \forall a\in G\quad g^{-1}Ng\subseteq N}
בפרט,
∀
a
∈
G
g
N
g
−
1
⊆
N
{\displaystyle \ \forall a\in G\quad gNg^{-1}\subseteq N}
N
=
g
−
1
(
g
N
g
−
1
)
g
⊆
g
−
1
N
g
⊆
N
{\displaystyle \ N=g^{-1}(gNg^{-1})g\subseteq g^{-1}Ng\subseteq N}
⇓
{\displaystyle \ \Downarrow }
N
=
g
−
1
N
g
{\displaystyle \ N=g^{-1}Ng}
(
2
)
⇒
(
3
)
{\displaystyle \ (2)\Rightarrow (3)}
נניח
∀
g
∈
G
g
−
1
N
g
=
N
{\displaystyle \ \forall g\in G\quad g^{-1}Ng=N}
יהי
n
∈
N
{\displaystyle \ n\in N}
n
g
∈
N
g
{\displaystyle \ ng\in Ng}
n
′
∈
N
{\displaystyle \ n'\in N}
g
−
1
n
g
=
n
′
⇔
n
g
=
g
n
′
∈
g
N
{\displaystyle \ g^{-1}ng=n'\Leftrightarrow ng=gn'\in gN}
וכן, מתקיים:
∀
g
∈
G
g
N
g
−
1
=
N
{\displaystyle \ \forall g\in G\quad gNg^{-1}=N}
לכן, יהי
n
∈
N
{\displaystyle \ n\in N}
g
n
∈
g
N
{\displaystyle \ gn\in gN}
n
′
∈
N
{\displaystyle \ n'\in N}
g
n
g
−
1
=
n
′
⇔
g
n
=
n
′
g
∈
N
g
{\displaystyle \ gng^{-1}=n'\Leftrightarrow gn=n'g\in Ng}
ומכאן:
∀
g
∈
G
N
g
=
g
N
{\displaystyle \ \forall g\in G\quad Ng=gN}
(
3
)
⇒
(
4
)
{\displaystyle \ (3)\Rightarrow (4)}
יהיו
a
,
b
∈
G
{\displaystyle \ a,b\in G}
(
a
N
)
(
b
N
)
=
(
1
)
(
a
N
)
(
N
b
)
=
(
2
)
(
a
N
)
b
=
(
3
)
(
N
a
)
b
=
(
4
)
N
(
a
b
)
=
(
5
)
=
(
a
b
)
N
{\displaystyle \ (aN)(bN)=^{(1)}(aN)(Nb)=^{(2)}(aN)b=^{(3)}(Na)b=^{(4)}N(ab)=^{(5)}=(ab)N}
הסבר מעברים:
N
{\displaystyle \ N}
(
4
)
⇒
(
1
)
{\displaystyle \ (4)\Rightarrow (1)}
נניח
∀
a
,
b
∈
G
(
a
N
)
(
b
N
)
=
(
a
b
)
N
{\displaystyle \ \forall a,b\in G\quad (aN)(bN)=(ab)N}
g
∈
G
{\displaystyle \ g\in G}
(
g
N
)
(
g
−
1
N
)
=
N
{\displaystyle \ (gN)(g^{-1}N)=N}
∀
n
,
n
′
∈
N
∃
n
∗
∈
N
g
n
g
−
1
n
′
=
n
∗
⇔
g
n
g
−
1
=
n
∗
(
n
′
)
−
1
∈
N
{\displaystyle \ \forall n,n'\in N\,\,\,\exists n^{*}\in N\quad gng^{-1}n'=n^{*}\Leftrightarrow gng^{-1}=n^{*}(n')^{-1}\in N}
מאפיינים אלו שימושיים מאוד בהוכחה שח"ח מסויימת היא נורמאלית, אנחנו נראה את השימושים הרבים שיש לחח"נ בהמשך הספר, ובכלל, חשוב שהקורא ישים לב שהוא מבין היטב את ההגדרות ואת המשפט לעיל, שכן מעתה ואיך נשתמש באחד האפיונים של חח"נ מבלי לציין זאת באופן ספציפי.
כמו כן, ראוי לציין שאין אלו האפיונים היחידים לחח"נ, ובהמשך נראה שיש עוד דרכים רבות להגדיר חבורה חלקית נורמאלית ורובן חשובות מאוד ומפתיעות.
עריכה
טענה: הגרעין הוא ח"ח נורמאלית
בהינתן
(
G
,
⋅
)
,
(
X
,
∗
)
{\displaystyle \ (G,\cdot ),(X,*)}
ϕ
:
G
→
X
{\displaystyle \ \phi :G\rightarrow X}
ker
(
ϕ
)
◃
G
{\displaystyle \ {\text{ker}}(\phi )\triangleleft G}
הוכחה: יהי
g
∈
G
{\displaystyle \ g\in G}
z
∈
ker
(
ϕ
)
{\displaystyle \ z\in {\text{ker}}(\phi )}
ϕ
(
g
z
g
−
1
)
=
ϕ
(
g
)
ϕ
(
z
)
ϕ
(
g
−
1
)
=
ϕ
(
g
)
(
ϕ
(
g
)
)
−
1
=
1
{\displaystyle \ \phi (gzg^{-1})=\phi (g)\phi (z)\phi (g^{-1})=\phi (g)(\phi (g))^{-1}=1}
ומכאן שמתקיים
g
z
g
−
1
∈
ker
(
ϕ
)
{\displaystyle \ gzg^{-1}\in {\text{ker}}(\phi )}
וכיוון שבחרנו ב
g
,
z
{\displaystyle \ g,z}
g
ker
(
ϕ
)
g
−
1
⊆
ker
(
ϕ
)
{\displaystyle \ g{\text{ker}}(\phi )g^{-1}\subseteq {\text{ker}}(\phi )}
מה שמסיים את ההוכחה.
טענה:
בהינתן
(
G
,
⋅
)
{\displaystyle \ (G,\cdot )}
A
,
B
,
B
′
≤
G
{\displaystyle \ A,B,B'\leq G}
B
◃
B
′
{\displaystyle \ B\triangleleft B'}
A
∩
B
◃
A
∩
B
′
{\displaystyle \ A\cap B\triangleleft A\cap B'}
היות ותת-חבורות נורמאליות הן מעין אבני הבניין שמרכיבים את החבורות (נראה את זה באופן מדויק יותר בפרקים הבאים על מרחבי מנה ומשפטי סילו), נרצה לתת שם מיוחד לאותן חבורות שלא ניתן "לפרק" אותן.
הגדרה: חבורה פשוטה
חבורה G שאין לה תת-חבורות נורמאליות לא טריויאליות תקרא חבורה פשוטה
החבורה
(
Z
2
,
+
)
{\displaystyle \left(\mathbb {Z} _{2},+\right)}
אנטי דוגמה: החבורה
(
Z
,
+
)
{\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,+\right)}
2
Z
{\displaystyle 2\mathbb {Z} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
באופן אינטואטיבי, הקומוטטור נותן לנו מושג על עד כמה שני האיברים מתחלפים.
טענה: זהויות של הקומוטטור
למען הפשטות בסימונים של הטענה, רק בסעיף זה נשתמש בסימון הלא קונבנציונאלי:
x
t
=
t
−
1
x
t
{\displaystyle \ x^{t}=t^{-1}xt}
[
x
,
y
]
t
=
[
x
t
,
y
t
]
{\displaystyle {[x,y]}^{t}=[x^{t},y^{t}]\,}
x
y
=
x
[
x
,
y
]
{\displaystyle x^{y}=x[x,y]\,}
[
y
,
x
]
=
[
x
,
y
]
−
1
{\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}\,}
[
x
y
,
z
]
=
[
x
,
z
]
y
⋅
[
y
,
z
]
{\displaystyle [xy,z]=[x,z]^{y}\cdot [y,z]}
[
x
,
y
z
]
=
[
x
,
z
]
⋅
[
x
,
y
]
z
{\displaystyle [x,yz]=[x,z]\cdot [x,y]^{z}}
[
x
,
y
−
1
]
=
[
y
,
x
]
y
−
1
{\displaystyle [x,y^{-1}]=[y,x]^{y^{-1}}}
[
x
−
1
,
y
]
=
[
y
,
x
]
x
−
1
{\displaystyle [x^{-1},y]=[y,x]^{x^{-1}}}
[
[
x
,
y
−
1
]
,
z
]
y
⋅
[
[
y
,
z
−
1
]
,
x
]
z
⋅
[
[
z
,
x
−
1
]
,
y
]
x
=
1
{\displaystyle [[x,y^{-1}],z]^{y}\cdot [[y,z^{-1}],x]^{z}\cdot [[z,x^{-1}],y]^{x}=1}
[
[
x
,
y
]
,
z
x
]
⋅
[
[
z
,
x
]
,
y
z
]
⋅
[
[
y
,
z
]
,
x
y
]
=
1
{\displaystyle [[x,y],z^{x}]\cdot [[z,x],y^{z}]\cdot [[y,z],x^{y}]=1}
מומלץ לקורא לנסות להוכיח את הטענות הללו לבד לשם תרגול של החומר וההגדרות.
טענה: קומוטטור נשמר תחת הומומורפיזם
בהינתן
(
G
,
⋅
)
,
(
H
,
∗
)
{\displaystyle \ (G,\cdot ),(H,*)}
f
:
G
→
H
{\displaystyle \ f:G\rightarrow H}
∀
x
,
y
∈
G
f
(
[
x
,
y
]
)
=
[
f
(
x
)
,
f
(
y
)
]
{\displaystyle \ \forall x,y\in G\,\,\,f([x,y])=[f(x),f(y)]}
עריכה
הגדרה: תת-חבורת הקומוטטורים
בהינתן
(
G
,
⋅
)
{\displaystyle \ (G,\cdot )}
[
G
,
G
]
=<
{
[
x
,
y
]
|
x
,
y
∈
G
}
>
{\displaystyle \ [G,G]=<\!\{[x,y]\,\,|\,\,x,y\in G\}\!>}
במילים: זוהי הח"ח הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של G.
טענה: תת-חבורת הקומוטטורים היא חח"נ
בהינתן
(
G
,
⋅
)
{\displaystyle \ (G,\cdot )}
[
G
,
G
]
◃
G
{\displaystyle \ [G,G]\triangleleft G}
עריכה
בסעיף זה אנחנו נחקור עד כמה החבורה היא חילופית (או לא) ועד כמה האיברים בחבורה הם חילופיים (או לא). נתחיל את העבודה במספר הגדרות:
הגדרה: המרכז של חבורה
בהינתן חבורה
(
X
,
⋅
,
1
X
)
{\displaystyle \ (X,\cdot ,1_{X})}
המרכז של החבורה :
Z
(
X
)
=
{
x
∈
X
|
∀
a
∈
X
x
a
=
a
x
}
{\displaystyle \ {\text{Z}}(X)=\{x\in X|\forall a\in X\quad xa=ax\}}
![{\displaystyle \ [x,y]=x^{-1}y^{-1}xy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3896799b8fbd12bed8d3907bd95e056c0cccf126)
![{\displaystyle {[x,y]}^{t}=[x^{t},y^{t}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54238a9d1f7c3e783eac0ec1e35b32ba701760b3)
![{\displaystyle x^{y}=x[x,y]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53d17391600703ccbaf4b503463a95b773fc93c)
![{\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00b748dc3bd2a4196c3db9e1c74be9d251eea628)
![{\displaystyle [xy,z]=[x,z]^{y}\cdot [y,z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b842155195e0fe1aa96d5e5b7c48c2dcc7afe1c)
![{\displaystyle [x,yz]=[x,z]\cdot [x,y]^{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5838d3b8828b6d6a3acc2dda8acb07e47a66582b)
![{\displaystyle [x,y^{-1}]=[y,x]^{y^{-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/244315ff297e41b5321e6fea0958663f5cc9ad7a)
![{\displaystyle [x^{-1},y]=[y,x]^{x^{-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a69ab69ab699becf6e24f460004f5deb0b2fdda)
![{\displaystyle [[x,y^{-1}],z]^{y}\cdot [[y,z^{-1}],x]^{z}\cdot [[z,x^{-1}],y]^{x}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5341b9acd3fd04a066959fb2ac90365912e95c6b)
![{\displaystyle [[x,y],z^{x}]\cdot [[z,x],y^{z}]\cdot [[y,z],x^{y}]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e048a4383e256f8161c24013a3bc3d6bbd251da1)
![{\displaystyle \ \forall x,y\in G\,\,\,f([x,y])=[f(x),f(y)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/930349185e6369e43a01a6746fec555308c544ef)
![{\displaystyle \ [G,G]=<\!\{[x,y]\,\,|\,\,x,y\in G\}\!>}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca2f5ba20f982a67b463e7da96d1497f4b2a7ffc)
![{\displaystyle \ [G,G]\triangleleft G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7109f314f0a70f6a415e1a6259e86246d4058cbf)
