מבנים אלגבריים/חבורות/פעולה של חבורה על קבוצה

הגדרה

הגדרה: פעולת חבורה תהא $\ X$ קבוצה כלשהי ו$\ G$ חבורה, פעולה של G על X היא פונקציה $\ f:G\times X\rightarrow X$ המקיימת: אסוציאטיביות: $\ \forall x\in X\,\,\,\forall g,h\in G\,\,\,f(gh,x)=f(g,f(h,x))$ ניטרליות של איבר היחידה: $\ \forall x\in X\,\,\,f(1,x)=x$

הערה: כאשר ברור מהי הפעולה המדוברת, לעיתים מסמנים $\ f(g,x)=g.x$.

מסלולים ומייצבים

הגדרה: מסלול בהינתן איבר $\ x\in X$ המסלול של x תחת הפעולה של G על X הוא הקבוצה: $\ Orb_{G}(x)=\{g.x|g\in G\}$ כלומר, המסלול של x הוא קבוצת האיברים בX שניתן להגיע אליהם מx באמצעות הפעלת איברים מG.

הגדרה: מיצב בהינתן איבר $\ x\in X$ המיצב של x תחת הפעולה של G על X הוא הקבוצה: $\ Stab_{G}(x)=\{g\in G|g.x=x\}$ כלומר, המיצב של איבר x הוא כל האיברים בg שהפעלתם עליו לא משנה אותו.

למה "המיצב הוא ח"ח" לכל $x\in X$ מתקיים $\ Stab_{G}(x)\leq G$

למה "המסלולים יוצרים מחלקות שקילות" לכל $x,y\in X$ מתקיים $\ Orb_{G}(x)\cap Orb_{G}(y)=\emptyset$ או $\ Orb_{G}(x)\cap Orb_{G}(y)=Orb_{G}(x)=Orb_{G}(y)$. $\ X=\bigcup _{x\in X}Orb_{G}(x)$

טענה: גודל המסלול בהינתן G חבורה סופית. לכל $x\in X$ מתקיים $\ |Orb_{G}(x)|={\frac {|G|}{|Stab_{G}(x)|}}$

סוגי פעולות

הגדרה: פעולה טרנזיטיבית אם X קבוצה לא ריקה, פעולה של G על X תיקרא טרנזיטיבית אםם $\ \forall x,y\in X\,\,\exists g\in G\,\,\,g.x=y$ כלומר, פעולה היא טרנזיטיבית אם מכל איבר של X ניתן להגיע לכל איבר אחר.

הלמה של ברנסייד

נתחיל בהגדרה:

הגדרה: פיקס בהינתן איבר $\ x\in X$ הפיקס של g תחת הפעולה של G על X הוא הקבוצה: $\ {\text{Fix}}(g)=\{x\in X|g.x=x\}$ כלומר, הפיקס של g הוא כל האיברים בX שg משאיר במקום.

משפט: הלמה של ברנסייד תהא G חבורה סופית. נסמן בN את מספר המסלולים השונים בX, אזי מתקיים $\ N={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|{\text{Fix}}(g)|$

הפרק הקודם: חבורות פתירות

פעולה של חבורה על קבוצה

הפרק הבא: משפטי סילו