מבנים אלגבריים/חבורות/חבורות מנה

הגדרה עריכה

הגדרה: חבורת מנה

תהי   חבורה ו   אזי נוכל להגדיר את הקבוצה:

 

[הערה: ההגדרה הנ"ל יכולה להתבצע גם אם N היא לא חבורה נורמאלית, אבל אז הטענה הבאה תהיה שקרית.]


טענה: חבורת המנה היא אכן חבורה

  היא חבורה ביחס לפעולת הכפל:

 


הוכחה: ראשית עלינו להראות שהכפל שהגדרנו מוגדר היטב ולא תלוי בנציגים a ו b. לכן, יהיו   וכן  . עלינו להוכיח שמתקיים:  .

יהי   כלשהו.

נתון:  

לכן, קיים   כך שמתקיים

 

נתון:   חח"נ. לכן מתקיים:

 

מכאן, קיים   כך שמתקיים  

נתון:   חח"נ. לכן מתקיים:

 

מכאן, קיים   כך שמתקיים  .

נתון:   חח"נ. לכן מתקיים:

 

לכן, קיים   כך שמתקיים   מכאן נקבל ש

 

[הערה: כביכול בהוכחה הוכחנו רק הכלה לכיוון אחד, אבל בפועל אפשר לשחזר את כל מה שעשינו כאן בכיוון השני ולקבל את ההוכחה המלאה.]

כעת, נראה שהאקסיומות של חבורה מתקיימות עבור הקבוצה הנ"ל:

  • סגירות: מתקיימת לפי ההגדרה של כפל.
  • אסוציאטיביות: יהיו  . אזי מתקיים:

 

  • קיום איבר יחידה: לכל   נשים לב שמתקיים:

 

לכן, קיים איבר יחידה והוא  .
  • קיום איבר הפכי: לכל   נשים לב שמתקיים:

 

ומכאן הטענה.


 

דוגמאות עריכה

ההומומורפיזם הטבעי עריכה

הגדרה: העתקה הטבעית או ההומומורפיזם הטבעי או ההטלה הטבעית

בהינתן   חבורה ו   נגדיר את ההעתקה:   מוגדרת ע"י:

 

[הערה: כשיהיה ספק בנוגע לחח"נ נסמן את העתקה  .]

כמובן, שיש צורך להוכיח שהעתקה הטבעית היא הומומורפיזם כפי שאנו טוענים בהגדרתה.

טענה: ההעתקה הטבעית היא הומומורפיזם

  מגדיר הומומורפיזם  .

הוכחה: ישירות מההגדרה, מתקיים לכל  

 

ומכאן הטענה.


 

נראה כעת דוגמה לשימוש בהומומורפיזם הטבעי כדי להוכיח למה מאוד שימושית:



למה "ההטלה הטבעית של חח"נ היא חח"נ"

בהינתן   חבורה ו   אזי מתקיים  


הוכחה: נשים לב שמתקיים:

 

יהי  . יהיה   , אזי קיים   כך שמתקיים   (כי   חח"נ.) לכן, מתקיים:

 

לכן, לפי משפט שהוכחנו מדובר בחח"נ, ובזאת הוכחה הטענה.


 



משפט: משפט ההתאמה

תהא   חבורה. אם   אזי יש התאמה חח"ע ועל בין החבורות החלקיות של   המכילות את   ובין החבורות החלקיות של  .


הוכחה: ראשית נגדיר את העתקה:   ע"י:

 

כעת עלינו להוכיח שהעתקה זו היא אכן חח"ע ועל.

  • חד-חד ערכיות:יהיו   כך ש  וכך ש  
כעת יהי   אזי   לכן, קיים   כך שמתקיים   לכן, מתקיים:

 

לכן, קיים   כך שמתקיים:  . לכן, כיוון שההכלה היא סימטרית לחלוטין, מתקיים:  .
  • על: תהי  . נסמן:

 

נראה שמתקיים   אבל ראשית, עלינו להוכיח ש  .
יהי  , אזי, מכיוון ש   מתקיים שבהכרח,  . לכן  .
כעת, יהי  . אזי קיים   כך ש   לכן,  . לכן, מתקיים ש   ומכאן שמתקיים,  . ההכלה בכיוון השני טריביאלית.


 

אפיון של חבורות חלקיות נורמאליות עריכה

משפט: חח"נ היא גרעין של הומומורפיזם

תהי   חבורה. אזי אם  , קיים הומומורפיזם   כך ש

 


הוכחה: ההומומורפיזם המבוקש הוא   כפי שהוגדר לעיל, ההוכחה טריביאלית.


 

מכאן, אנחנו למדים בעצם שכל חבורה חלקית נורמאלית היא בעצם גרעין של איזשהו הומומורפיזם. ובכלל, הצלחנו לבנות את ההומומורפיזם המבוקש.

הפרק הקודם:
תת חבורות נורמאליות
חבורות מנה הפרק הבא:
משפטי האיזומורפיזמים