מבנים אלגבריים/חבורות/חבורות מנה

הגדרה

הגדרה: חבורת מנה תהי $\ G$ חבורה ו $\ N\triangleleft G$ אזי נוכל להגדיר את הקבוצה: $\ G/N=\{gN\,|\,g\in G\}$ [הערה: ההגדרה הנ"ל יכולה להתבצע גם אם N היא לא חבורה נורמאלית, אבל אז הטענה הבאה תהיה שקרית.]

טענה: חבורת המנה היא אכן חבורה $\ G/N$ היא חבורה ביחס לפעולת הכפל: $\ (aN)(bN)=(ab)N$

הוכחה: ראשית עלינו להראות שהכפל שהגדרנו מוגדר היטב ולא תלוי בנציגים a ו b. לכן, יהיו $\ aN=a'N$ וכן $\ bN=b'N$. עלינו להוכיח שמתקיים: $\ (ab)N=(a'b')N$.

יהי $\ n\in N$ כלשהו.

נתון: $\ bN=b'N$

לכן, קיים $\ n'\in N$ כך שמתקיים

$\ (ab)n=a(bn)=a(b'n')=(ab')n'$

נתון: $\ N$ חח"נ. לכן מתקיים:

$\ (ab')N=N(ab')$

מכאן, קיים $\ {\tilde {n}}\in N$ כך שמתקיים $\ (ab')n'={\tilde {n}}(ab')=({\tilde {n}}a)b'$

נתון: $\ N$ חח"נ. לכן מתקיים:

$\ Na=aN=a'N=Na'$

מכאן, קיים $\ {\hat {n}}\in N$ כך שמתקיים $\ ({\tilde {n}}a)b'=({\hat {n}}a')b'={\tilde {n}}(a'b')$.

נתון: $\ N$ חח"נ. לכן מתקיים:

$\ (a'b')N=N(a'b')$

לכן, קיים $\ n^{*}\in N$ כך שמתקיים $\ {\tilde {n}}(a'b')=(a'b')n^{*}$ מכאן נקבל ש

$\ (ab)N=(a'b')N$

[הערה: כביכול בהוכחה הוכחנו רק הכלה לכיוון אחד, אבל בפועל אפשר לשחזר את כל מה שעשינו כאן בכיוון השני ולקבל את ההוכחה המלאה.]

כעת, נראה שהאקסיומות של חבורה מתקיימות עבור הקבוצה הנ"ל:

• סגירות: מתקיימת לפי ההגדרה של כפל.
• אסוציאטיביות: יהיו $\ aN,bN,cN\in G/N$. אזי מתקיים:

$\ ((aN)(bN))(cN)=((ab)N)(cN)=((ab)c)N=(a(bc))N=(aN)((bc)N)=(aN)((bN)(cN))$

• קיום איבר יחידה: לכל $\ aN\in G/N$ נשים לב שמתקיים:

$\ (aN)N=(aN)(1N)=(a\cdot 1)N=aN$

לכן, קיים איבר יחידה והוא $\ N\in G/N$.

• קיום איבר הפכי: לכל $\ aN\in G/N$ נשים לב שמתקיים:

$\ (aN)(a^{-1}N)=(a\cdot a^{-1})N=N$

ומכאן הטענה.

ההומומורפיזם הטבעי

הגדרה: העתקה הטבעית או ההומומורפיזם הטבעי או ההטלה הטבעית בהינתן $\ G$ חבורה ו $\ N\triangleleft G$ נגדיר את ההעתקה: $\ \pi :G\rightarrow G/N$ מוגדרת ע"י: $\ \pi (g)=gN$ [הערה: כשיהיה ספק בנוגע לחח"נ נסמן את העתקה $\ \pi _{N}$.]

כמובן, שיש צורך להוכיח שהעתקה הטבעית היא הומומורפיזם כפי שאנו טוענים בהגדרתה.

טענה: ההעתקה הטבעית היא הומומורפיזם $\ \pi (g)=gN$ מגדיר הומומורפיזם $\ \pi :G\rightarrow G/N$.

הוכחה: ישירות מההגדרה, מתקיים לכל $\ a,b\in G$

$\ \pi (ab)=(ab)N=(aN)(bN)=\pi (a)\pi (b)$

ומכאן הטענה.

נראה כעת דוגמה לשימוש בהומומורפיזם הטבעי כדי להוכיח למה מאוד שימושית:

למה "ההטלה הטבעית של חח"נ היא חח"נ" בהינתן $\ G$ חבורה ו $\ N,H\triangleleft G$ אזי מתקיים $\ \pi _{N}(H)\triangleleft G/N$

הוכחה: נשים לב שמתקיים:

$\ \pi _{N}(H)=\{hN\,\,|\,\,h\in H\}$

יהי $\ gN\in G/N$. יהיה $\ h\in H$ , אזי קיים $\ h'\in H$ כך שמתקיים $\ h'=ghg^{-1}$ (כי $\ H$ חח"נ.) לכן, מתקיים:

$(gN)(hN)(gN)^{-1}=(gN)(hN)(g^{-1}N)=(ghg^{-1})N=h'N\in \pi _{N}(H)$

לכן, לפי משפט שהוכחנו מדובר בחח"נ, ובזאת הוכחה הטענה.

משפט: משפט ההתאמה תהא $\ G$ חבורה. אם $\ N\triangleleft G$ אזי יש התאמה חח"ע ועל בין החבורות החלקיות של $\ G$ המכילות את $\ N$ ובין החבורות החלקיות של $\ G/N$.

הוכחה: ראשית נגדיר את העתקה: $\ {\bar {\pi }}:\{L\leq G|N\subseteq L\}\rightarrow \{K\subseteq G/N|K\leq G/N\}$ ע"י:

$\ {\bar {\pi }}(L)=\{\pi (l)|l\in L\}$

כעת עלינו להוכיח שהעתקה זו היא אכן חח"ע ועל.

• חד-חד ערכיות:יהיו $\ L,K\leq G$ כך ש$\ N\subseteq K,L$ וכך ש $\ {\bar {\pi }}(L)={\bar {\pi }}(K)$

כעת יהי $\ l\in L$ אזי $\ \pi (l)=lN\in {\bar {\pi }}(K)$ לכן, קיים $\ k\in K$ כך שמתקיים $\ lN=kN$ לכן, מתקיים:

$\ lk^{-1}\in N\subseteq K$

לכן, קיים $\ {\tilde {k}}\in K$ כך שמתקיים: $\ l=k{\tilde {k}}\in K$. לכן, כיוון שההכלה היא סימטרית לחלוטין, מתקיים: $\ L=K$.

• על: תהי $\ Z\leq G/N$. נסמן:

$\ A=\{g\in G|\pi (g)\in Z\}$

נראה שמתקיים $\ {\bar {\pi }}(A)=Z$ אבל ראשית, עלינו להוכיח ש $\ N\subseteq A$.

יהי $\ n\in N$, אזי, מכיוון ש $\ N\in Z$ מתקיים שבהכרח, $\ n\in A$. לכן $\ N\subseteq A$.

כעת, יהי $\ z\in Z$. אזי קיים $\ l\in G$ כך ש $\ z=lN$ לכן, $\ l\in A$. לכן, מתקיים ש $\ \pi (l)=z$ ומכאן שמתקיים, $\ z\in {\bar {\pi }}(A)$. ההכלה בכיוון השני טריביאלית.

אפיון של חבורות חלקיות נורמאליות

משפט: חח"נ היא גרעין של הומומורפיזם תהי $\ G$ חבורה. אזי אם $\ N\triangleleft G$, קיים הומומורפיזם $\ f$ כך ש $\ {\text{ker}}(f)=N$

הוכחה: ההומומורפיזם המבוקש הוא $\ \pi :G\rightarrow G/N$ כפי שהוגדר לעיל, ההוכחה טריביאלית.

מכאן, אנחנו למדים בעצם שכל חבורה חלקית נורמאלית היא בעצם גרעין של איזשהו הומומורפיזם. ובכלל, הצלחנו לבנות את ההומומורפיזם המבוקש.

הפרק הקודם: תת חבורות נורמאליות

חבורות מנה

הפרק הבא: משפטי האיזומורפיזמים