בפרק זה נתמקד בכמה תכונות בסיסיות של החבורה שנובעות ישירות מההגדרה שלה. תכונות אלו ישמשו אותנו בהמשך כשנחקור את המבנה של החבורה יותר לעומק. למען הפשטות, נשתמש בסעיף זה בסימונים של חבורה חיבורית, את האנאלוגיה למקרה של חבורה כיפלית ניתן לעשות בקלות בעזרת הסימונים שראינו בפרק הקודם.

יחידות עריכה

הטענה הבאה, למרות שנראית לנו מאוד אינטואטיבית וכמעט ברורה מאליה דורשת הוכחה. הרבה דברים שנראים לנו מאוד אינטואטיביים והגיוניים בפרק זה לאו דווקא יהיו נכונים, ולכן אנו נדאג להוכיח הכל בזהירות ובבהירות תוך כדי הסתמכות על האקסיומות של החבורה.

טענה 1: יחידות האיבר הנייטראלי

בהינתן חבורה $\ (G,+)$ , האיבר הנייטרלי, $0_{g}\in G$ , הוא יחיד.

הוכחה: נניח בשלילה שקיים איבר נייטרלי נוסף $0'\in G$ אזי לפי תכונות הנייטרלי מתקיים:

\ 0'=^{(1)}0'+0_{g}=^{(2)}0_{g}

מכאן, אם קיים איבר נייטראלי נוסף אזי הוא שווה לאיבר נייטראלי אחר ולכן האיבר הנייטראלי הוא יחיד.

הסבר מעברים:
(1) $\ 0_{G}$ הוא איבר נייטראלי
(2) $\ 0'$ הוא איבר נייטראלי

טענה 2: יחידות הנגדי

בחבורה $\ (G,+)$ , לכל $\ a\in G$ הנגדי של $\ a$ הוא יחיד.

הוכחה: יהי $\ a\in G$ נניח כעת שקיימים לאיבר זה שני נגדיים $\ b,b'\in G$ אזי, מתקיים:

\ b=^{(1)}b+0_{G}=^{(2)}b+(a+b')=^{(3)}(b+a)+b'=^{(4)}0_{G}+b'=^{(5)}b'

מכאן, אם קיימים לאיבר שני נגדיים אז הם שווים, ומכאן הטענה.

הסבר מעברים:
(1) $\ 0_{G}$ איבר ניטרלי לחיבור
(2) $\ b'$ איבר נגדי של $\ a$
(3) אסוציאטיביות של חיבור
(4) $\ b$ הוא הנגדי של $\ a$
(5) האיבר $\ 0_{G}$ ניטרלי לחיבור

כפי שנאמר גם בסעיף ההקדמה לפרק זה, את הנגדי היחידי של איבר $\ a\in G$ נסמן מעתה ואילך ב $\ -a\in G$ .

טענה 3:

אם קיים איבר $\ a\in G$ כך שמתקיים $\ a+a=a$ , אזי מתקיים $\ a=0_{G}$ .

הוכחה: יהי $\ a\in G$ המקיים את התכונה לעיל. לפי אקסיומות החבורה, קיים לו איבר נגדי $\ -a\in G$ ומתקיים:

\ a=^{(1)}a+0_{G}=^{(2)}a+(a+(-a))=^{(3)}(a+a)+(-a)=^{(4)}a+(-a)=^{(5)}0_{G}

הסבר מעברים:
(1) תכונות של איבר ניטרלי
(2) אקסיומת האיבר הנגדי
(3) אסוציאטיביות
(4) נתון
(5) תכונה של איבר נגדי

צמצום ופתרון משוואות בחבורה עריכה

הטענות הבאות נועדו בעיקר כדי לעזור לנו בפעולות "אלגבריות" שונות על ביטויים שהאיברים והפעולה בהם שייכים לחבורה כלשהי.

טענה 4: צמצום משמאל

תהי $\ (G,+)$ חבורה. אם מתקיים $\ a+x=a+y$ אזי מתקיים $\ x=y$ .

הוכחה:

\ x=^{(1)}0_{G}+x=^{(2)}((-a)+a)+x=^{(3)}(-a)+(a+x)=^{(4)}(-a)+(a+y)=^{(5)}((-a)+a)+y=^{(6)}0_{G}+y=^{(7)}y

הסבר מעברים:
(1) תכונות של איבר נייטרלי
(2) תכונות של איבר נגדי
(3) אסוציאטיביות
(4) נתון
(5) אסוציאטיביות
(6) תכונות של איבר נגדי
(7) תכונות של איבר נייטרלי

באופן אנאלוגי, הקורא יוכל להוכיח בעצמו את הטענה הבאה:

טענה 4': צמצום מימין

תהי $\ (G,+)$ חבורה. אם מתקיים $\ x+a=y+a$ אזי מתקיים $\ x=y$ .