הסתברות/וקטורים אקראיים

נהוג לקרוא לוקטור - אקראי, ולמשתנה - מקרי. וקטור אקראי (נהוג לקצר: ו"א) זהו וקטור שכל איבריו משתנים מקריים.

מבוא

עריכה

הגדרה: וקטור אקראי

וקטור אקראי הוא וקטור שכל אבריו הם משתנים מקריים. נסמן:  . וקטור זה הוא n-מימדי.


הגדרה: פונקצית הסתברות של וקטור אקראי

הפונקציה   נקראת פונקצית ההסתברות של הוקטור האקראי  .

שימו לב כי גם כאן פונקצית ההסתברות יכולה לקבל ערכים אי-שליליים בלבד. פונקציה זו נקראת גם פונקצית ההסתברות המשותפת.


הגדרה: פונקצית התפלגות של וקטור אקראי

 

תכונות פונקצית ההתפלגות

עריכה

על מנת לפשט את הדיון בפונקצית ההתפלגות, נניח כי מדובר בו"א דו-מימדי:

  ואז:
  •  
  •  
  •  
  • F מונוטונית עולה בכל רכיב בנפרד.
  • יהי A המלבן שקודקודיו  , אז:  
שימו לב כי גם כאן ההסתברות פרופורציונית לשטח.

וקטור אקראי בדיד

עריכה

הגדרה: וקטור אקראי בדיד

ו"א נקרא בדיד אם הוא מקבל מספר סופי או ניתן להימנות של ערכים.


הגדרה: פונקצית הסתברות שולית של וקטור אקראי בדיד

פונקצית ההסתברות השולית של המ"מ Xi מוגדרת על ידי:  . שימו לב כי מתקבלת פונקציה של xi בלבד.

למעשה, מה שמתבצע בחישוב ההסתברות השולית הוא סכימה על כל המשתנים פרט ל-xi, והמשמעות היא שכל האירועים, פרט לאלו המתוארים על ידי xi, קרו בוודאות.
שימו לב כי בהינתן פונקצית הסתברות משותפת, ניתן למצוא את כל פונקציות ההסתברות השוליות, אך ההפך אינו נכון: בהינתן כל פונקציות ההסתברות השוליות לא ניתן לדעת את פונקצית ההסתברות המשותפת.

תכונות

עריכה
  • אם הו"א   בדיד, אז גם Xi בדידים.
  •  .
בצורה פשוטה יותר: אם   אז  .

דוגמאות

עריכה
  • יהי   ו"א בדיד בעל פונקצית הסתברות   בתחום  , כאשר c הוא קבוע נרמול המתאים לפונקצית הסתברות. שימו לב כי פונקצית ההסתברות תלויה רק במ"מ X2. אז:
  • פונקצית ההסתברות השולית של X1 היא:
 
  • פונקצית ההסתברות השולית של X2 היא:
 

וקטור אקראי רציף

עריכה

הגדרה: וקטור אקראי רציף

ו"א   נקרא רציף בהחלט אם קיימת פונקצית הצפיפות המשותפת   כך שעבור כל קבוצה לא-סינגולרית A ב-   מתקיים:  , והפונקציה f צריכה להיות מוגדרת היטב פרט אולי למספר סופי או ניתן להמנות של נקודות   שנפחן במימד n הוא 0, ולכן אינן משנות את ערך האינטגרל:  .

במקרה הרציף, פונקצית ההתפלגות מקבלת את הצורה:

 

אם כן, פונקצית הצפיפות המשותפת תתקבל על ידי:

 


הגדרה: פונקצית התפלגות שולית (רציפה)

נגדיר, בלי הגבלת הכלליות, את פונקצית ההתפלגות השולית של המ"מ X1:  .

אם נגזור לפי x1 נקבל את פונקצית הצפיפות השולית:

הגדרה: פונקצית צפיפות שולית

נגדיר בלי הגבלת הכלליות, את פונקצית הצפיפות השולית של המ"מ X1:  . שימו לב כי יש כאן n-1 אינטגרציות.

דוגמאות

עריכה
  • צפיפות אחידה בו"א דו מימדי:
 
מהי אם כן, ההסתברות שהוקטור ימצא בשטח  ?
 
כך למשל, הסיכוי להמצא בעיגול בעל רדיוס 0.5 הוא 0.25.
נחשב כעת את פונקצית הצפיפות השולית של X:
 
עבור פונקצית הצפיפות השולית של Y נקבל תושבה דומה.
כללית: אם D הוא תחום ב-   בעל נפח V, ופונקצית הצפיפות האחידה ב-D היא:
 
אז:  .
הפרק הקודם:
פונקציה אופיינית
וקטורים אקראיים הפרק הבא:
התפלגויות