הסתברות/וקטורים אקראיים

נהוג לקרוא לוקטור - אקראי, ולמשתנה - מקרי. וקטור אקראי (נהוג לקצר: ו"א) זהו וקטור שכל איבריו משתנים מקריים.

מבוא

הגדרה: וקטור אקראי וקטור אקראי הוא וקטור שכל אבריו הם משתנים מקריים. נסמן: $\ {\vec {X}}=(X_{1},X_{2},...,X_{n})^{T}$. וקטור זה הוא n-מימדי.

הגדרה: פונקצית הסתברות של וקטור אקראי הפונקציה $\ \mathbb {P} _{X_{1},...,X_{n}}(x_{1},...,x_{n})=\mathbb {P} (\{X_{1}=x_{1}\}\cap \{X_{2}=x_{2}\}\cap ...\cap \{X_{n}=x_{n}\})$ נקראת פונקצית ההסתברות של הוקטור האקראי $\ {\vec {X}}$.

שימו לב כי גם כאן פונקצית ההסתברות יכולה לקבל ערכים אי-שליליים בלבד. פונקציה זו נקראת גם פונקצית ההסתברות המשותפת.

הגדרה: פונקצית התפלגות של וקטור אקראי $\ F_{X_{1},...,X_{n}}(x_{1},...,x_{n})=\mathbb {P} (\{X_{1}\leq x_{1}\}\cap \{X_{2}\leq x_{2}\}\cap ...\cap \{X_{n}\leq x_{n}\})$

תכונות פונקצית ההתפלגות

על מנת לפשט את הדיון בפונקצית ההתפלגות, נניח כי מדובר בו"א דו-מימדי:

$\ F_{X,Y}(x,y)=\mathbb {P} (X\leq x,Y\leq y)$ ואז:

• $\ 0\leq F_{X,Y}(x,y)\leq 1$
• $\ \lim \limits _{x\to -\infty }F_{X,Y}(x,y)=0\ ,\ \lim \limits _{y\to -\infty }F_{X,Y}(x,y)=0$
• $\ \lim \limits _{x\to \infty }F_{X,Y}(x,y)=\mathbb {P} (Y\leq y)=F_{Y}(y)\ ,\ \lim \limits _{y\to \infty }F_{X,Y}(x,y)=\mathbb {P} (X\leq x)=F_{X}(x)$
• F מונוטונית עולה בכל רכיב בנפרד.
• יהי A המלבן שקודקודיו $\ (x,y),(x+a,y),(x,y+b),(x+a,y+b)\ ;\ a,b\geq 0$, אז: $\ \mathbb {P} (\{x,y\}\in A)=F_{X,Y}(x+a,y+b)-F_{X,Y}(x,y+b)-F_{X,Y}(x+a,y)+F_{X,Y}(x,y)\geq 0$

שימו לב כי גם כאן ההסתברות פרופורציונית לשטח.

וקטור אקראי בדיד

הגדרה: וקטור אקראי בדיד ו"א נקרא בדיד אם הוא מקבל מספר סופי או ניתן להימנות של ערכים.

הגדרה: פונקצית הסתברות שולית של וקטור אקראי בדיד פונקצית ההסתברות השולית של המ"מ Xi מוגדרת על ידי: $\ \mathbb {P} (X_{i}=x_{i})=\sum \limits _{x_{1}}\sum \limits _{x_{2}}...\sum \limits _{x_{i-1}}\sum \limits _{x_{i+1}}...\sum \limits _{x_{n}}\mathbb {P} _{X_{1},...,X_{n}}(x_{1},...,x_{n})$. שימו לב כי מתקבלת פונקציה של xi בלבד.

למעשה, מה שמתבצע בחישוב ההסתברות השולית הוא סכימה על כל המשתנים פרט ל-x_i, והמשמעות היא שכל האירועים, פרט לאלו המתוארים על ידי x_i, קרו בוודאות.

שימו לב כי בהינתן פונקצית הסתברות משותפת, ניתן למצוא את כל פונקציות ההסתברות השוליות, אך ההפך אינו נכון: בהינתן כל פונקציות ההסתברות השוליות לא ניתן לדעת את פונקצית ההסתברות המשותפת.

תכונות

• אם הו"א $\ {\vec {X}}$ בדיד, אז גם X_i בדידים.
• $\ \sum \limits _{x_{1}}\sum \limits _{x_{2}}...\sum \limits _{x_{n}}\mathbb {P} _{X_{1},...,X_{n}}(x_{1},...,x_{n})=1$.

בצורה פשוטה יותר: אם $\ {\vec {X}}=(X_{1},X_{2})$ אז $\ \sum \limits _{i}^{\infty }\sum \limits _{j}^{\infty }\mathbb {P} _{X_{1},X_{2}}(i,j)=1$.

דוגמאות

• יהי $\ X=(X_{1},X_{2})$ ו"א בדיד בעל פונקצית הסתברות $\ \mathbb {P} (X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2})={c \over 2^{x_{2}}}$ בתחום $\ 1\leq x_{1}\leq x_{2}<\infty$, כאשר c הוא קבוע נרמול המתאים לפונקצית הסתברות. שימו לב כי פונקצית ההסתברות תלויה רק במ"מ X₂. אז:

• פונקצית ההסתברות השולית של X₁ היא:

$\ \mathbb {P} _{X_{1}}(x_{1})=\sum \limits _{x_{1}\leq x_{2}}{c \over 2^{x_{2}}}={c \over 2^{x_{1}-1}}$

• פונקצית ההסתברות השולית של X₂ היא:

$\ \mathbb {P} _{X_{2}}(x_{2})=\sum \limits _{x_{1}=1}^{x_{2}}{c \over 2^{x_{2}}}={c \over 2^{x_{2}}}x_{2}$

וקטור אקראי רציף

הגדרה: וקטור אקראי רציף ו"א $\ {\vec {X}}=(X_{1},...,X_{n})$ נקרא רציף בהחלט אם קיימת פונקצית הצפיפות המשותפת $\ f_{X_{1},...,X_{n}}(x_{1},...,x_{n})$ כך שעבור כל קבוצה לא-סינגולרית A ב- $\ \mathbb {R}$ מתקיים: $\ \mathbb {P} ({\vec {X}}\in A)=\int \ ...\int f_{X_{1},...,X_{n}}(x_{1},...,x_{n})dx_{n}...dx_{1}$, והפונקציה f צריכה להיות מוגדרת היטב פרט אולי למספר סופי או ניתן להמנות של נקודות $\ (x_{1},...,x_{n})$ שנפחן במימד n הוא 0, ולכן אינן משנות את ערך האינטגרל: $\ \int \limits _{-\infty }^{\infty }...\int \limits _{-\infty }^{\infty }f=1$.

במקרה הרציף, פונקצית ההתפלגות מקבלת את הצורה:

$\ F_{X_{1},...,X_{n}}(x_{1},...,x_{n})=\int \limits _{-\infty }^{x_{1}}...\int \limits _{-\infty }^{x_{n}}f_{X_{1},...,X_{n}}(\xi _{1},...,\xi _{n})d\xi _{n}...d\xi _{1}$

אם כן, פונקצית הצפיפות המשותפת תתקבל על ידי:

$\ f_{X_{1},...,X_{n}}(x_{1},...,x_{n})={\partial ^{n}F_{X_{1},...,X_{n}}(x_{1},...,x_{n}) \over \partial x_{1}...\partial x_{n}}$

הגדרה: פונקצית התפלגות שולית (רציפה) נגדיר, בלי הגבלת הכלליות, את פונקצית ההתפלגות השולית של המ"מ X1: $\ F_{X_{1}}(x_{1})=\int \limits _{-\infty }^{x_{1}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }...\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X_{1},...,X_{2}}(x_{1},...,x_{n})d\xi _{n}...d\xi _{1}$.

אם נגזור לפי x₁ נקבל את פונקצית הצפיפות השולית:

הגדרה: פונקצית צפיפות שולית נגדיר בלי הגבלת הכלליות, את פונקצית הצפיפות השולית של המ"מ X1: $\ f_{X_{1}}(x_{1})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }...\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X_{1},...,X_{n}}(x_{1},...,x_{n})d\xi _{2}...d\xi _{n}$. שימו לב כי יש כאן n-1 אינטגרציות.

דוגמאות

• צפיפות אחידה בו"א דו מימדי:

$\ f_{X,Y}(x,y)={\begin{cases}c,&x^{2}+y^{2}<1\\0,&x^{2}+y^{2}>1\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad 1=\iint \limits _{x^{2}+y^{2}<1}cdxdy=c\pi \ \Rightarrow \ c={1 \over \pi }$

מהי אם כן, ההסתברות שהוקטור ימצא בשטח $\ A=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}<r_{0}^{2}\ ,\ 0\leq r_{0}\leq 1\}$?

$\ \mathbb {P} (\{x,y\}\in A)=\iint \limits _{A}{1 \over \pi }dxdy=r_{0}^{2}$

כך למשל, הסיכוי להמצא בעיגול בעל רדיוס 0.5 הוא 0.25.

נחשב כעת את פונקצית הצפיפות השולית של X:

$\ f_{X}(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X,Y}(x,y)dy={\begin{cases}\int \limits _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}{1 \over \pi }dy={2{\sqrt {1-x^{2}}} \over \pi },&|x|\leq 1\\0,&|x|\geq 1\end{cases}}$

עבור פונקצית הצפיפות השולית של Y נקבל תושבה דומה.

כללית: אם D הוא תחום ב- $\ \mathbb {R} ^{n}$ בעל נפח V, ופונקצית הצפיפות האחידה ב-D היא:

$\ f_{X_{1},...X_{n}}(x_{1},...,x_{n})={\begin{cases}{1 \over V},&\{x_{1},...,x_{n}\}\in D\\0,&\{x_{1},...,x_{n}\}\not \in D\end{cases}}$

אז: $\ \mathbb {P} (\{x_{1},...,x_{n}\}\in A)={|A\cap D| \over |V|}$.

הפרק הקודם: פונקציה אופיינית

וקטורים אקראיים

הפרק הבא: התפלגויות