הסתברות/תוחלת ומומנטים/אי שוויון צ'בישב

אי שיוויון צ'בישב (נקרא גם: צ'בישף וגם: צ'ביצ'ב) נותן חסם להסתברות לקבל ערכים רחוקים מן התוחלת. במילים אחרות: מאפשר להעריך את התפלגות התוחלת. על פי אי-שיוויון צ'בישב, כאשר השונות קטנה, ההסתברות לסטיות גדולות מן הממוצע גם היא קטנה.



משפט: אי שוויון צ'בישב

יהי X מ"מ בעל תוחלת ושונות , אז לכל a,b חיוביים מתקיים: , או לחלופין: כאשר b=aσ.


שימו לב כי עבור ערכי b קטנים החסם של צ'בישב גדול מאחד. לכן החסם יעיל כאשר מדובר ב-b-ים גדולים. כמו-כן, במידה ופונקצית הצפיפות סימטרית סביב התוחלת, ומעוניינים רק בצד אחד של התוחלת, ניתן לשפר את החסם פי 2.

דוגמה

עריכה

אדם יוצא לעבודה כל יום בשעה 7:30. הזמן הממוצע שלוקח לו להגיע הוא 30 דקות (כלומר  ), וסטיית התקן היא 5 דקות ( ). ביום מסוים מגיע לקוח למקום העבודה ב-8:30. נראה כי הסיכוי שהלקוח יגיע לפני האדם קטנה מ-3%:

אם סטיית התקן הינה 5 דקות, אזי השונות היא 25 דקות2, מההגדרה כי  .

אנו מחפשים את  , נבצע מעבר מתמטי ונקבל:  

מש"ל

קישורים חיצוניים

עריכה


הפרק הקודם:
אי שוויון מרקוב
אי שוויון צ'בישב הפרק הבא:
אי שוויון ינסן