הסתברות/תוחלת ומומנטים/אי שוויון צ'בישב
אי שיוויון צ'בישב (נקרא גם: צ'בישף וגם: צ'ביצ'ב) נותן חסם להסתברות לקבל ערכים רחוקים מן התוחלת. במילים אחרות: מאפשר להעריך את התפלגות התוחלת. על פי אי-שיוויון צ'בישב, כאשר השונות קטנה, ההסתברות לסטיות גדולות מן הממוצע גם היא קטנה.
משפט: אי שוויון צ'בישב יהי X מ"מ בעל תוחלת ושונות , אז לכל a,b חיוביים מתקיים: , או לחלופין: כאשר b=aσ. |
שימו לב כי עבור ערכי b קטנים החסם של צ'בישב גדול מאחד. לכן החסם יעיל כאשר מדובר ב-b-ים גדולים. כמו-כן, במידה ופונקצית הצפיפות סימטרית סביב התוחלת, ומעוניינים רק בצד אחד של התוחלת, ניתן לשפר את החסם פי 2.
דוגמה
עריכהאדם יוצא לעבודה כל יום בשעה 7:30. הזמן הממוצע שלוקח לו להגיע הוא 30 דקות (כלומר ), וסטיית התקן היא 5 דקות ( ). ביום מסוים מגיע לקוח למקום העבודה ב-8:30. נראה כי הסיכוי שהלקוח יגיע לפני האדם קטנה מ-3%:
אם סטיית התקן הינה 5 דקות, אזי השונות היא 25 דקות2, מההגדרה כי .
אנו מחפשים את , נבצע מעבר מתמטי ונקבל:
מש"ל
קישורים חיצוניים
עריכה
הפרק הקודם: אי שוויון מרקוב |
אי שוויון צ'בישב | הפרק הבא: אי שוויון ינסן |