הסתברות/תוחלת ומומנטים/פונקציה יוצרת מומנטים


הגדרה: פונקציה יוצרת מומנטים

עבור מ"מ X, הפונקציה יוצרת המומנטים שלו היא והיא מוגדרת כאשר התוחלת קיימת, כך שעבור מ"מ רציף נקבל .

שימו לב כי הפונקציה יוצרת המומנטים היא התמרת לפלאס של הצפיפות.

תכונותעריכה

  •  
  • אם M גזירה k פעמים בסביבת s=0 וב-s=0 עצמה אז:  .

דוגמהעריכה

יהי X מ"מ. מהו X אם ידוע כי קיימת סביבה   עבורה הפונקציה יוצרת המומנטים לינארית?

פתרון: נניח כי   באותה סביבה. אז:

 
 
 

כעת ניזכר כי השונות חייבת להיות חיובית ואז:

 

כלומר קיבלנו שהשונות היא אפס (כלומר מדובר במשתנה מקרי מנוון) והתוחלת היא אפס, לכן X מקבל ערך יחיד (0) בהסתברות 1.


הפרק הקודם:
אי שוויון ינסן
פונקציה יוצרת מומנטים הפרק הבא:
פונקציה אופיינית