הסתברות/תוחלת ומומנטים/פונקציה יוצרת מומנטים
< הסתברות
הגדרה: פונקציה יוצרת מומנטים עבור מ"מ X, הפונקציה יוצרת המומנטים שלו היא והיא מוגדרת כאשר התוחלת קיימת, כך שעבור מ"מ רציף נקבל . |
שימו לב כי הפונקציה יוצרת המומנטים היא התמרת לפלאס של הצפיפות.
תכונות
עריכה- אם M גזירה k פעמים בסביבת s=0 וב-s=0 עצמה אז: .
דוגמה
עריכהיהי X מ"מ. מהו X אם ידוע כי קיימת סביבה עבורה הפונקציה יוצרת המומנטים לינארית?
פתרון: נניח כי באותה סביבה. אז:
כעת ניזכר כי השונות חייבת להיות חיובית ואז:
כלומר קיבלנו שהשונות היא אפס (כלומר מדובר במשתנה מקרי מנוון) והתוחלת היא אפס, לכן X מקבל ערך יחיד (0) בהסתברות 1.
הפרק הקודם: אי שוויון ינסן |
פונקציה יוצרת מומנטים | הפרק הבא: פונקציה אופיינית |