הסתברות מותנית היא ההסתברות של מאורע כלשהו בהנחה שמאורע אחר ארע.
הגדרהעריכה
הגדרה: הסתברות מותנית יהיו שני מאורעות, כך ש- . ההסתברות המותנית של בהנתן היא |
כפי שאפשר לשים לב, ההסתברות המותנית אינה מוגדרת במקרה . אא"כ יצויין אחרת, נניח במובלע כי זה אינו המצב.
דוגמאעריכה
נניח כי בתל-אביב גרים 100 בנים, ו-20 בנות, ואילו בחיפה גרים 40 בנים ו-50 בנות. נניח כי בוחרים אדם כלשהו באקראי.
- מה ההסתברות כי בחרנו בבת?
- ישנן 70 בנות מתוך 210 אנשים סה"כ מהם אנו בוחרים אחד, לכן ההסתברות לבחור בת הוא , כלומר שליש.
- מה ההסתברות כי בחרנו בבת, אם ידוע כי האדם הנבחר גר בתל-אביב?
- כאן ההסתברות מותנית, ונחשב לפי ההגדרות לעיל. המאורע A הוא בחירת בת והמאורע B הוא שנבחר תושב תל אביב. קל לראות כי וכן . ההסתברות הנה ההסתברות להיות בת וגם בתל אביב - ישנן 20 כאלה (מתוך אוכלוסיה של 210 סה"כ), ולכן . כעת נציב בנוסחא לעיל, ונקבל כי ההסתברות לבחור בת בהנתן שהאדם שבחרנו הוא מתל-אביב היא:
תכונותעריכה
המשפט הבא מראה כי כל שלוש התכונות המאפיינות הסתברות, אותן ראינו במודל ההסתברותי, מאפיינות גם הסתברות מותנית.
משפט: הסתברות מותנית היא הסתברות נניח ש- הוא מאורע כלשהו. אז
|
בתרגיל:הסתברות מותנית היא הסתברות תתבקש להוכיח זאת.
מאותה סיבה, גם שאר התכונות של הסתברות מתקיימות לגבי הסתברות מותנית, כפי שאפשר לראות לדוגמה במשפט הבא.
משפט: הסתברות מותנית של משלים
|
בתרגיל:הסתברות מותנית של משלים תתבקש להוכיח זאת.
הסתברות מותנית של מאורעות בלתי-תלוייםעריכה
התניה במאורע בלתי תלוי אינה משנה את ההסתברות:
משפט: אם מאורעות בלתי תלויים, אז |
הוכחה:
המקרה האקראי הסימטריעריכה
במודל ההסתברותי ראינו שבמקרה מרחב המדגם הסימטרי, הסתברות הנה פרופורציה. נראה שהתכונה מתקיימת גם עבור הסתברות מותנית.
נתבונן בתרשים בצד שמאל. לפי ההגדרה, ההסתברות המותנית הנה .
כלומר, בהנחה ש- ארע, אז מדובר בפרופורציה של השטח שמשותף גם ל- , כלומר הפרופורציה של בהנחה שיש לבחור מתוך .
קישורים חיצונייםעריכה
הפרק הקודם: אי תלות בין מאורעות |
הסתברות מותנית תרגילים |
הפרק הבא: נוסחת ההסתברות השלמה |