הסתברות/מבוא/הסתברות מותנית

הסתברות מותנית היא ההסתברות של מאורע כלשהו בהנחה שמאורע אחר ארע.

הגדרה

הגדרה: הסתברות מותנית יהיו $A,B$ שני מאורעות, כך ש-$\mathbb {P} (B)\neq 0$ . ההסתברות המותנית של $A$ בהנתן $B$ היא $\mathbb {P} (A|B)\equiv {\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}$

כפי שאפשר לשים לב, ההסתברות המותנית אינה מוגדרת במקרה $\mathbb {P} (B)=0$ . אא"כ יצויין אחרת, נניח במובלע כי זה אינו המצב.

דוגמא

נניח כי בתל-אביב גרים 100 בנים, ו-20 בנות, ואילו בחיפה גרים 40 בנים ו-50 בנות. נניח כי בוחרים אדם כלשהו באקראי.

• מה ההסתברות כי בחרנו בבת?
  • ישנן 70 בנות מתוך 210 אנשים סה"כ מהם אנו בוחרים אחד, לכן ההסתברות לבחור בת הוא ${\tfrac {70}{210}}$ , כלומר שליש.
• מה ההסתברות כי בחרנו בבת, אם ידוע כי האדם הנבחר גר בתל-אביב?
  • כאן ההסתברות מותנית, ונחשב לפי ההגדרות לעיל. המאורע A הוא בחירת בת והמאורע B הוא שנבחר תושב תל אביב. קל לראות כי $P(A)={\tfrac {1}{3}}$ וכן $P(B)={\tfrac {120}{210}}={\tfrac {4}{7}}$ . ההסתברות $P(A\cap B)$ הנה ההסתברות להיות בת וגם בתל אביב - ישנן 20 כאלה (מתוך אוכלוסיה של 210 סה"כ), ולכן $P(A\cap B)={\tfrac {2}{21}}$ . כעת נציב בנוסחא לעיל, ונקבל כי ההסתברות לבחור בת בהנתן שהאדם שבחרנו הוא מתל-אביב היא:

$P(A\mid B)={\frac {\tfrac {2}{21}}{\tfrac {4}{7}}}={\tfrac {1}{6}}$

${\tfrac {1}{3}}>{\tfrac {1}{6}}$

תכונות

המשפט הבא מראה כי כל שלוש התכונות המאפיינות הסתברות, אותן ראינו במודל ההסתברותי, מאפיינות גם הסתברות מותנית.

משפט: הסתברות מותנית היא הסתברות נניח ש- $B$ הוא מאורע כלשהו. אז ההסתברות המותנית של מרחב המדגם שווה 1, או $\mathbb {P} (\Omega |B)=1$ . לכל מאורע הסתברות מותנית אי-שלילית $\forall {A\subseteq \Omega }\quad 0\leq \mathbb {P} (A|B)\leq 1$. אדיטיביות: עבור כל שני מאורעות זרים, הסתברות איחודם היא סכום הסתברויותיהן $\forall {A_{1},A_{2}\subseteq \Omega }\ {\text{ s.t. }}\ A_{1}\cap A_{2}=\varnothing \quad \Rightarrow \quad \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}|B)=\mathbb {P} (A_{1}|B)+\mathbb {P} (A_{2}|B)$

בתרגיל:הסתברות מותנית היא הסתברות תתבקש להוכיח זאת.

מאותה סיבה, גם שאר התכונות של הסתברות מתקיימות לגבי הסתברות מותנית, כפי שאפשר לראות לדוגמה במשפט הבא.

משפט: הסתברות מותנית של משלים $\mathbb {P} (A^{c}|B)=1-\mathbb {P} (A|B)$

בתרגיל:הסתברות מותנית של משלים תתבקש להוכיח זאת.

הסתברות מותנית של מאורעות בלתי-תלויים

התניה במאורע בלתי תלוי אינה משנה את ההסתברות:

משפט: אם $A,B$ מאורעות בלתי תלויים, אז $\mathbb {P} (A|B)=\mathbb {P} (A)$ $\mathbb {P} (A|B^{c})=\mathbb {P} (A)$

הוכחה: $\mathbb {P} (A|B)={\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}={\frac {\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B)}{\mathbb {P} (B)}}=\mathbb {P} (A)$

המקרה האקראי הסימטרי

במודל ההסתברותי ראינו שבמקרה מרחב המדגם הסימטרי, הסתברות הנה פרופורציה. נראה שהתכונה מתקיימת גם עבור הסתברות מותנית.

נתבונן בתרשים בצד שמאל. לפי ההגדרה, ההסתברות המותנית הנה $\mathbb {P} (A|B)={\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}={\dfrac {\dfrac {|A\cap B|}{|\Omega |}}{\dfrac {|B|}{|\Omega |}}}={\frac {|A\cap B|}{|B|}}$ .

כלומר, בהנחה ש- $B$ ארע, אז מדובר בפרופורציה של השטח שמשותף גם ל- $A$ , כלומר הפרופורציה של $A$ בהנחה שיש לבחור מתוך $B$ .

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: הסתברות מותנית

הפרק הקודם: אי תלות בין מאורעות

הסתברות מותנית תרגילים

הפרק הבא: נוסחת ההסתברות השלמה