הסתברות/מבוא/הסתברות מותנית

הסתברות מותנית היא ההסתברות של מאורע כלשהו בהנחה שמאורע אחר ארע.

הגדרהעריכה

הגדרה: הסתברות מותנית

יהיו   שני מאורעות, כך ש-  . ההסתברות המותנית של   בהנתן   היא  

כפי שאפשר לשים לב, ההסתברות המותנית אינה מוגדרת במקרה   . אא"כ יצויין אחרת, נניח במובלע כי זה אינו המצב.

דוגמאעריכה

נניח כי בתל-אביב גרים 100 בנים, ו-20 בנות, ואילו בחיפה גרים 40 בנים ו-50 בנות. נניח כי בוחרים אדם כלשהו באקראי.

  • מה ההסתברות כי בחרנו בבת?
    • ישנן 70 בנות מתוך 210 אנשים סה"כ מהם אנו בוחרים אחד, לכן ההסתברות לבחור בת הוא   , כלומר שליש.
  • מה ההסתברות כי בחרנו בבת, אם ידוע כי האדם הנבחר גר בתל-אביב?
    • כאן ההסתברות מותנית, ונחשב לפי ההגדרות לעיל. המאורע A הוא בחירת בת והמאורע B הוא שנבחר תושב תל אביב. קל לראות כי   וכן   . ההסתברות   הנה ההסתברות להיות בת וגם בתל אביב - ישנן 20 כאלה (מתוך אוכלוסיה של 210 סה"כ), ולכן   . כעת נציב בנוסחא לעיל, ונקבל כי ההסתברות לבחור בת בהנתן שהאדם שבחרנו הוא מתל-אביב היא:
 


 

תכונותעריכה

המשפט הבא מראה כי כל שלוש התכונות המאפיינות הסתברות, אותן ראינו במודל ההסתברותי, מאפיינות גם הסתברות מותנית.


משפט: הסתברות מותנית היא הסתברות

נניח ש-   הוא מאורע כלשהו. אז

  1. ההסתברות המותנית של מרחב המדגם שווה 1, או   .
  2. לכל מאורע הסתברות מותנית אי-שלילית  .
  3. אדיטיביות: עבור כל שני מאורעות זרים, הסתברות איחודם היא סכום הסתברויותיהן  


בתרגיל:הסתברות מותנית היא הסתברות תתבקש להוכיח זאת.

מאותה סיבה, גם שאר התכונות של הסתברות מתקיימות לגבי הסתברות מותנית, כפי שאפשר לראות לדוגמה במשפט הבא.



משפט: הסתברות מותנית של משלים

 

בתרגיל:הסתברות מותנית של משלים תתבקש להוכיח זאת.

הסתברות מותנית של מאורעות בלתי-תלוייםעריכה

התניה במאורע בלתי תלוי אינה משנה את ההסתברות:


משפט:

אם   מאורעות בלתי תלויים, אז

  1.  
  2.  


הוכחה:  

 

המקרה האקראי הסימטריעריכה

במודל ההסתברותי ראינו שבמקרה מרחב המדגם הסימטרי, הסתברות הנה פרופורציה. נראה שהתכונה מתקיימת גם עבור הסתברות מותנית.

נתבונן בתרשים בצד שמאל. לפי ההגדרה, ההסתברות המותנית הנה   .

כלומר, בהנחה ש-   ארע, אז מדובר בפרופורציה של השטח שמשותף גם ל-   , כלומר הפרופורציה של   בהנחה שיש לבחור מתוך   .

קישורים חיצונייםעריכה


הפרק הקודם:
אי תלות בין מאורעות
הסתברות מותנית
תרגילים
הפרק הבא:
נוסחת ההסתברות השלמה