הסתברות/משתנים מקריים/פונקציות של משתנים מקריים



למה

אם h פונקציה כך ש- ואם X מ"מ, אז גם מ"מ.



למה "אי תלות של טרנספורמציות"

אם X,Y מ"מ ב"ת, אז גם הטרנספורמציות הינן בלתי-תלויות.


צפיפות של טרנספורמציה עריכה

כאשר מדובר בפונקציות התפלגות פשוטות, ניתן לבצע פעולות בתוך פונקצית ההתפלגות:

 

אך במקרים רבים פשוט נעדיף להעזר במשפט:


משפט: צפיפות של טרנספורמציה

תהי h חח"ע וגזירה בתומך של המ"מ X, ו-X בעל צפיפות  . אז הצפיפות של   נתונה על ידי:  .


הוכחה עריכה

תהי   ונניח כי  .

נסתכל על פונקציית ההתפלגות: :

 

ואם נגזור את שני האגפים לפי   נקבל את התוצאה המבוקשת.

הערה: ההוכחה היתה עבור פונקציה   עולה, ההוכחה זהה עבור פונקציה יורדת אך עם החלפת סימנים במקומות מסוימים.

דוגמאות עריכה

(להשלים)

צפיפות של טרנספורמציה: הכללה עריכה

משפט: צפיפות של טרנספורמציה (הכללה)

אם ניתן לפרק את h ל-n קטעים אשר מרכיבים את התומך, ובכל אחד מהם h חח"ע וגזירה, ו-   אז:  .


הוכחה עריכה

(להשלים)

דוגמאות עריכה

(להשלים)

הפרק הקודם:
התפלגויות משותפות ומותנות
פונקציות של משתנים מקריים הפרק הבא:
תוחלת ומומנטים