הסתברות/משתנים מקריים/פונקציות של משתנים מקריים

למה אם h פונקציה כך ש- $\ h:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ואם X מ"מ, אז גם $\ Y=h(X)$ מ"מ.

למה "אי תלות של טרנספורמציות" אם X,Y מ"מ ב"ת, אז גם הטרנספורמציות $\ g(X),h(Y)$ הינן בלתי-תלויות.

צפיפות של טרנספורמציה

כאשר מדובר בפונקציות התפלגות פשוטות, ניתן לבצע פעולות בתוך פונקצית ההתפלגות:

$\ F_{Y}(y)=\mathbb {P} (Y\leq y)=\mathbb {P} (h(X)\leq y)=\mathbb {P} ({X|h(X)\leq y})$

אך במקרים רבים פשוט נעדיף להעזר במשפט:

משפט: צפיפות של טרנספורמציה תהי h חח"ע וגזירה בתומך של המ"מ X, ו-X בעל צפיפות $\ f_{X}(x)$. אז הצפיפות של $\ Y=h(X)$ נתונה על ידי: $\ f_{Y}(y)=|h^{-1}(y)'|f_{X}[h^{-1}(y)]$.

הוכחה

תהי $h(x)$ ונניח כי $h'(x)\neq 0$.

נסתכל על פונקציית ההתפלגות:$F_{Y}(y)$:

$F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(h(X)\leq y)=P(X\leq h^{-1}(y))=F_{X}(h^{-1}(y))$

ואם נגזור את שני האגפים לפי $y$ נקבל את התוצאה המבוקשת.

הערה: ההוכחה היתה עבור פונקציה $h$ עולה, ההוכחה זהה עבור פונקציה יורדת אך עם החלפת סימנים במקומות מסוימים.

דוגמאות

(להשלים)

צפיפות של טרנספורמציה: הכללה

משפט: צפיפות של טרנספורמציה (הכללה) אם ניתן לפרק את h ל-n קטעים אשר מרכיבים את התומך, ובכל אחד מהם h חח"ע וגזירה, ו- $\ Y=h(X)$ אז: $\ f_{Y}(y)=\sum \limits _{i=1}^{n}|h_{i}^{-1}(y)'|f_{X}[h_{i}^{-1}(y)]$.

הוכחה

(להשלים)

דוגמאות

(להשלים)

הפרק הקודם: התפלגויות משותפות ומותנות

פונקציות של משתנים מקריים

הפרק הבא: תוחלת ומומנטים