הסתברות/קווריאנס ומקדם המתאם

דוגמאות

• לשפופרת אלקטרונים אורך חיים T מעריכי עם פרמטר λ. בזמן זה, השפופרת פולטת מספר אלקטרונים N פואסוני עם פרמטר cT.

בשאלה זו נשתמש גם במומנט השני של מ"מ מעריכי: $\ 2 \over \lambda ^{2}$ ובמומנט השני של מ"מ פואסוני: $\ cT+c^{2}T^{2}$.

• מהי תוחלת מספר האלקטרונים?

מנוסחת ההחלקה: $\ \mathbb {E} N=\mathbb {E} (\mathbb {E} N|T)=\mathbb {E} (cT)={c \over \lambda }$

• מהי השונות של מספר האלקטרונים?

על פי הגדרת השונות: $\ \sigma _{N}^{2}=VarN=\mathbb {E} N^{2}-(\mathbb {E} N)^{2}$

$\ \mathbb {E} N^{2}=\mathbb {E} (\mathbb {E} (N^{2}|T)=\mathbb {E} (cT+c^{2}T^{2})={c \over \lambda }+{2c^{2} \over \lambda ^{2}}$

שני השיוויונות האחרונים התבצעו על ידי שימוש במומנט ה-2 של N ושל T.

• מהו הקווריאנס בין N,T ..?

על פי הגדרת הקווריאנס: $\ Cov(N,T)=\mathbb {E} (NT)-\mathbb {E} N\mathbb {E} T$

$\ \mathbb {E} (NT)=\mathbb {E} (\mathbb {E} (NT|T))=\mathbb {E} (T\mathbb {E} (N|T))=\mathbb {E} (cT^{2})={2c \over \lambda ^{2}}$

השיוויון האחרון התבצע על ידי הצבת המומנט השני של T.

• מהו מקדם המתאם בין N,T ..?

$\ \rho _{N,T}={Cov(N,T) \over \sigma _{N}\sigma _{T}}={\frac {c \over \lambda ^{2}}{{\sqrt {{c \over \lambda }+{c^{2} \over \lambda ^{2}}}}{\sqrt {1 \over \lambda ^{2}}}}}={c \over {\sqrt {c\lambda +c^{2}}}}$

הפרק הקודם: [[הסתברות/וקטורים אקראיים/|]]

קווריאנס ומקדם המתאם

הפרק הבא: וקטורים גאוסיים