הסתברות/תוחלת ומומנטים/שונות

השונות (Variance) היא מדד לפיזור התוצאות של מ"מ סביב התוחלת שלו. ככל שהשונות יותר קטנה, כך התוצאות מרוכזות יותר סביב התוחלת.


הגדרה: שונות

יהי X מ"מ. השונות של X מוגדרת על ידי: , והיא קיימת כאשר המומנט השני קיים וסופי.

הגדרה זו מעניקה חשיבות רבה יותר עבור סטיות גדולות, מכיוון שהקשר ריבועי. למעשה, ניתן לכנות את השונות כ"סטייה ריבועית מינימלית ממרכז הכובד".

על מנת שהשונות תקבל משמעות מעשית, מגדירים את סטיית התקן (SD - Standard Deviation):

הגדרה: סטיית תקן

יהי X מ"מ. סטיית התקן שלו מוגדרת על ידי: .

כך, סטיית התקן היא באותן יחידות של X.

תכונותעריכה

  •  
  •  
  • אם X מ"מ מנוון המקבל את הערך x0 בהסתברות 1, אז  .
  • הזזה לא משפיעה על השונות:  
  • עבור קבוע a כלשהו:  . בדומה,  .
  • עבור סכום מ"מ כלשהם:  

דוגמאותעריכה

הערה: בכל הדוגמאות להלן q = 1-p.

שונות של משתנה גאומטריעריכה

  • יהי   אז:
 
נחשב בנפרד את  :
 
 
כעת נחבר ונקבל:
 

שונות של משתנה בינומיעריכה

  • יהי   אז:
 
 
 
 
שימו לב כי ניתן להציב p+q=1 רק לאחר שביצענו את הגזירה. השונות, אם כן, היא:
 

שונות של משתנה פואסוניעריכה

  • יהי   אז:
 

שונות של משתנה אחידעריכה

  • יהי   אז:
 

הרחבהעריכה

  • יהי   אז:
 
דרך אחרת: נגדיר מ"מ חדש:  . ונשתמש בתכונת ההזזה של השונות:
 
ולכן:  .

שונות של משתנה מעריכיעריכה

  • יהי   אז:
מחדו"א ידוע:  ,
ולכן:  

שונות של משתנה נורמליעריכה

  • יהי   אז:
 
שימו לב כי הצפיפות הגאוסית מוגדרת כך שהפרמטר הראשון הוא התוחלת, והשני הוא השונות, ולכן ברור רק מהסתכלות ש-  .

שונות של משתנה גאוסי כלליעריכה

  • יהי   אז:
נגדיר מ"מ חדש:  . אז:
 
שימו לב כי הצפיפות הגאוסית מוגדרת כך שהפרמטר הראשון הוא התוחלת, והשני הוא השונות, ולכן ברור רק מהסתכלות ש-  .


הפרק הקודם:
מומנטים
שונות הפרק הבא:
אי שוויון מרקוב