הסתברות/משתנים מקריים

בחלק המבוא ראינו כי לניסוי יש תוצאות. ממרחב המדגם של התוצאות, , מרכיבים מאורעות, ולמאורעות מרכיבים פונקציית הסתברות.

חלק זה דן במשתנים מקריים. אינטואיטיבית, משתנה מקרי הוא פונקציה המתאימה לכל תוצאת ניסוי ערך מספרי, לדוגמה, התאמת הערך 0 לתוצאת "עץ" בהטלת מטבע, ו-1 לתוצאת "פאלי", או התאמת 0 לכל התוצאות הזוגיות של הטלת קוביה, ו-1 לכל התוצאות האי זוגיות. הדבר יאפשר לנו לענות על שאלות כגון:

  1. מה הסיכוי שהתוצאה שהתקבלה הותאמה לערך בין ל- כלשהם?
  2. מה הערך הממוצע שנצפה לקבל מההתאמות שינבעו ממספר רב של תוצאות?

הגדרותעריכה

הגדרה: משתנה מקרי

משתנה מקרי הוא התאמה של כל תוצאה אפשרית ממרחב המדגם לתוצאה מספרית.  .

לרוב נציין משתנה מקרי באות גדולה, לדוגמה  , וערך ספיציפי של משתנה מקרי באות קטנה, לדוגמה  .

ההגדרה המדוייקת שונה מעט, בצורה שלא תשנה ממש בספר זה. משתנה מקרי הוא פונקציה מדידה ממרחב הסתברות   למרחב מדיד כלשהו, בדרך כלל המספרים הממשיים עם ה-σ-אלגברה של בורל. במקרה כזה המשתנה המקרי נקרא משתנה מקרי ממשי. הדרישה שהפונקציה מדידה מבטיחה שאפשר יהיה לחשב את ההסתברות למאורעות  , כלומר  . כאשר מרחב ההסתברות הוא בדיד, כל הפונקציות ממנו מדידות, ולכן כל פונקציה יכולה להחשב משתנה מקרי.

התומך הוא התחום שבו משתנה מקרי יכול לקבל ערכים.

הגדרה: תומך

יהי   מ"מ. נאמר ש-  נתמך בקטע   אם  . התומך של   הוא הקטע הסגור הקטן ביותר בו   נתמך.

דוגמאותעריכה

תוצאת קוביהעריכה

בזריקת קוביה, קבוצת המדגם היא  .


נוכל להגדיר את משתנה מקרי   על ידי זאת ש-  שווה לתוצאת הקוביה. במקרה זה, אם הקוביה הוגנת, נוכל לכתוב:

  1.  
  2.   (מפני שמדובר ב-2 מאורעות במרחב סימטרי בעל 6 איברים)

לחלופין, נוכל להגדיר משתנה מקרי   על ידי זאת ש-  שווה ל-0 אם התוצאה זוגית, ו-1 אם התוצאה אי-זוגית. במקרה זה, אם הקוביה הוגנת, נוכל לכתוב:

  1.   (המשתנה אינו מקבל ערך זה)
  2.   (המשתנה מקבל רק את הערכים 0 ו-1, ולכן כל תוצאה תצא פחות מ3)
  3.   (מפני שמדובר ב-3 מאורעות במרחב סימטרי בעל 6 איברים)

תוצאות הטלות מטבעותעריכה

נניח שזורקים מטבע   פעמים. נשים לב שכאן כל תוצאה ב-  היא רצף של   תוצאות "עץ" ו"פאלי". נוכל להגדיר משתנה מקרי   המתאר את מספר תוצאות "עץ" מתוך   ההטלות. בהמשך נראה כי אם סיכוי ה"עץ" בהטלה בודדת הוא  , וסיכוי ה"פאלי" הוא  , אז

 .

בחירת מספר בקטעעריכה

נניח שבוחרים מספר באופן מקרי בין   ל- . קבוצת המדגם היא


 .


נוכל להגדיר את משתנה מקרי   על ידי זאת ש-  שווה למספר שנבחר במקרה זה נוכל לכתוב:

  1.   (משיקולי סימטריה)
  2.   (הסיכוי שייבחר בדיוק מספר כלשהו, לדוגמה 0, הוא 0)

לחלופין, נוכל להגדיר משתנה מקרי   על ידי זאת ש-  שווה לערכו המוחלט של המספר שנבחר. במקרה זה נוכל לכתוב:

  1.   (המשתנה אינו מקבל ערך זה)

קישורים חיצונייםעריכה


הפרק הקודם:
דוגמה מסכמת - ניסויי ברנולי
משתנים מקריים הפרק הבא:
משתנים מקריים בדידים