הסתברות/מבוא/נוסחת ההסתברות השלמה

נוסחת ההסתברות השלמה מאפשרת לחשב הסתברות של ארוע מתוך הסתברויות מותנות שלו (או הסתברויות משותפות שלו עם ארוע אחר).

הגדרה

משפט: משפט ההסתברות השלמה נניח ש- $A$ מאורע כלשהו, ונניח ש- $B_{1},\dots ,B_{n}$ מאורעות זרים המקיימים $\bigcup _{k}{B_{k}}=\Omega$ . אז $\mathbb {P} (A)=\sum _{k}\mathbb {P} (A|B_{k})\mathbb {P} (B_{k})=\sum _{k}\mathbb {P} (A\cap B_{k})$

באופן אינטואיטיבי הרעיון העומד מאחורי הגדרה זו היא שניתן לחשב את ההסתברות של מאורע $A$ ע"י השאלה מה הסתברותו בהינתן אוסף של מאורעות אחרים, כל עוד אנחנו מכסים את כל האפשרויות. למשל, נניח משחק קוביה מסוים, ונשאל מה ההסתברות שהמשחק הראשון ניצח. אפשר "לפרק" את השאלה הזו לשאלות הבאות: מה ההסתברות שהוא ניצח, אם ידוע שבהטלה הראשונה הקוביה הראתה '1'; מה ההסתברות שניצח אם ידוע שההטלה הראשונה היא "2"; וכן הלאה... מכיון שכל המאורעות המותנים זרים (אם זרק "1" לא יתכן שזרק "6") ומכיון שאנחנו מכסים את כל האפשרויות - הסכום יתן בדיוק את ההסתברות של השחקן לנצח (באופן כללי, ללא התניה בתוצאת הקוביה הראשונה).

דוגמה: נתונות שלוש קופסאות בעלות כדורים שחורים ואדומים: בקופסא הראשונה יש 5 כדורים שחורים ו-5 אדומים. בקופסא השניה יש 30 כדורים שחורים ו-120 אדומים. בקופסא השלישית יש כדור שחור יחיד. בוחרים באקראי קופסא, וכדור אקראי מתוכו. מה הסיכוי שהכדור שחור? נסמן כ- $A$ את הארוע בו נבחר כדור שחור. נסמן $B_{k}$ את הארוע בו נבחרה קופסא $k$ . לפי ההגדרה, $\mathbb {P} (B_{1})=\mathbb {P} (B_{2})=\mathbb {P} (B_{3})={\frac {1}{3}}$ וכן $\mathbb {P} (A|B_{1})=0.5$ $\mathbb {P} (A|B_{2})=0.2$ $\mathbb {P} (A|B_{3})=1$ לפי נוסחת ההסתברות השלמה, $\mathbb {P} (A)=\sum _{k}\mathbb {P} (A|B_{k})\mathbb {P} (B_{k})=0.5\cdot {\frac {1}{3}}+0.2\cdot {\frac {1}{3}}+1\cdot {\frac {1}{3}}$

הוכחת המשפט

כדי להוכיח את משפט ההסתברות השלמה, נתבונן בגרסה מוכללת שלו.

משפט: משפט ההסתברות השלמה (גרסה מוכללת) נניח ש- $A$ מאורע כלשהו, ונניח ש- $B_{1},\ldots ,B_{n}$ מאורעות זרים המקיימים $\bigcup _{k}{B_{k}}=B$ , עבור מאורע $B$ כלשהו. אז $\mathbb {P} (A\cap B)=\sum _{k}\mathbb {P} (A|B_{k})\mathbb {P} (B_{k})=\sum _{k}\mathbb {P} (A\cap B_{k})$

שים לב כי במקרה $B=\Omega$ , נקבל $A\cap B=A\cap \Omega =A$ , והמשפט המקורי מתקבל כמקרה פרטי.

הוכחה: ע"פ הגדרת ההסתברות המותנית:

$\mathbb {P} (A|B_{k})={\frac {\mathbb {P} (A\cap B_{k})}{\mathbb {P} (B_{k})}}$

ולכן

$\sum _{k}\mathbb {P} (A|B_{k})\mathbb {P} (B_{k})=\sum _{k}\mathbb {P} (A\cap B_{k})$

היותר שהמאורעות $B_{k}$ זרים, אז כך גם המאורעות $A\cap B_{k}$ . במקרה זה סכום ההסתברויות הוא הסתברות האיחוד, ונקבל

$\sum _{k}\mathbb {P} (A\cap B_{k})=\mathbb {P} \left(\bigcup _{k}(A\cap B_{k})\right)=\mathbb {P} (A\cap B)$

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: נוסחת ההסתברות השלמה

הפרק הקודם: הסתברות מותנית

נוסחת ההסתברות השלמה תרגילים

הפרק הבא: נוסחת בייס