הסתברות/מבוא/אי תלות בין מאורעות

מאורעות בלתי-תלויים הם מאורעות אשר מתרחשים "בלי קשר" אחד לשני - הם אינם משפיעים זה על הסתברותו של זה.

הגדרה

הגדרה: אי-תלות בין מאורעות המאורעות $A,B$ בלתי-תלויים אם $\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B)$ . במקרה הכללי, המאורעות $A_{1},\dots ,A_{n}$ בלתי-תלויים אם לכל תת-קבוצת אינדקסים $i_{1},\ldots ,i_{m}\in \{1,\dots ,n\}$ שכולם שונים, מתקיים $\mathbb {P} \left(\bigcap _{i=i_{1},\dots ,i_{m}}A_{i}\right)=\prod _{i=i_{1},\dots ,i_{m}}\mathbb {P} (A_{i})$ .

שימו לב: הימנעו מבילבול שני המושגים! מאורעות זרים מקיימים: $\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (\varnothing )=0$ . מאורעות בלתי-תלויים מקיימים: $\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B)$ .

דוגמה: נניח שאנו זורקים שני מטבעות הוגנים. נגדיר את המאורע $A$ כ"עץ" במטבע הראשון, ו- $B$ כמאורע "עץ" בשני. אז מתקיים $\Omega =\{(T,T),(T,H),(H,T),(H,H)\}$ כאשר H מסמל "עץ" ו-T מסמל "פאלי". קל לראות ש- $A=\{(H,H),(H,T)\}$ ו- $B=\{(T,H),(H,H)\}$ . מכאן שמתקיים, $\mathbb {P} (A\cap B)={\frac {1}{4}}=\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}$ , ולכן המאורעות בלתי-תלויים. באופן כללי, אם יש לנו $n$ מטבעות הוגנים, ובוחרים $m$ אינדקסים שונים מתוך 1 עד $n$ אז המאורעות "עץ" במטבעות האינדקסים הנבחרים הם מאורעות בלתי-תלויים.

תכונות

חוסר תלות אפשר להגדיר על מאורעות או משלימיהם בצורה שקולה.

משפט: אם $A,B$ בלתי-תלויים, אז גם $\{A^{c},B^{c}\}\ ;\ \{A^{c},B\}\ ;\ \{A,B^{c}\}$ בלתי-תלויים.

הוכחה:

נניח כי $A,B$ בלתי-תלויים. היות ש- $A\cap B^{c}$ ו- $A\cap B$ זרים,

$\mathbb {P} (A\cap B^{c})+\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A\cap (B\cup B^{c}))=\mathbb {P} (A)$

לפי חוסר התלות,

$\mathbb {P} (A\cap B^{c})+\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B)=\mathbb {P} (A)\Rightarrow \mathbb {P} (A\cap B^{c})=\mathbb {P} (A){\big (}1-\mathbb {P} (B){\big )}=\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B^{c})$

אפשר כמובן להכליל משפט זה ליותר משני מאורעות.

אי-תלות בזוגות

לפעמים קבוצת מאורעות אינם בלתי-תלויים, אך כל שני מאורעות מתוכם אכן בלתי-תלויים (זו דרישה חלשה יותר).

הגדרה: אי-תלות בזוגות $A_{1}\cdots A_{n}$ בלתי-תלויים בזוגות אם לכל $i\neq j$ מתקיים: $\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})=\mathbb {P} (A_{i})\cdot \mathbb {P} (A_{j})$ .

קל לראות כי אם $A_{1},\dots ,A_{n}$ בלתי-תלויים, אז הם בלתי-תלויים בזוגות. הדוגמה הבאה מראה שההפך אינו מתקיים בהכרח.

דוגמה: נניח שמגרילים שלושה מספרים: את המספר הראשון קובעים בעזרת הטלת מטבע הוגן. אם התוצאה "עץ", הערך הוא 0, ואחרת הוא 1. את המספר השני קובעים באותו אופן ע"י מטבע הוגן אחר. המספר השלישי הוא פעולת ה-xor על שני המספרים הראשונים. קל לראות ששלושת המאורעות של קבלת 0 אינם בלתי-תלויים, אך קבלת 0 בכל שניים משלושת המספרים אכן בלתי-תלויים.

הפרק הקודם: המודל ההסתברותי

אי תלות בין מאורעות

הפרק הבא: הסתברות מותנית