הסתברות/מבוא/אי תלות בין מאורעות

מאורעות בלתי-תלויים הם מאורעות אשר מתרחשים "בלי קשר" אחד לשני - הם אינם משפיעים זה על הסתברותו של זה.

הגדרהעריכה

הגדרה: אי-תלות בין מאורעות

המאורעות   בלתי-תלויים אם   .

במקרה הכללי, המאורעות   בלתי-תלויים אם לכל תת-קבוצת אינדקסים   שכולם שונים, מתקיים   .


 

שימו לב:

הימנעו מבילבול שני המושגים!
  • מאורעות זרים מקיימים:   .
  • מאורעות בלתי-תלויים מקיימים:   .



דוגמה:

נניח שאנו זורקים שני מטבעות הוגנים. נגדיר את המאורע   כ"עץ" במטבע הראשון, ו-   כמאורע "עץ" בשני. אז מתקיים   כאשר H מסמל "עץ" ו-T מסמל "פאלי". קל לראות ש-   ו-   . מכאן שמתקיים,   , ולכן המאורעות בלתי-תלויים.

באופן כללי, אם יש לנו   מטבעות הוגנים, ובוחרים   אינדקסים שונים מתוך 1 עד   אז המאורעות "עץ" במטבעות האינדקסים הנבחרים הם מאורעות בלתי-תלויים.


תכונותעריכה

חוסר תלות אפשר להגדיר על מאורעות או משלימיהם בצורה שקולה.



משפט:

אם   בלתי-תלויים, אז גם   בלתי-תלויים.


הוכחה:

נניח כי   בלתי-תלויים. היות ש-   ו-   זרים,

 

לפי חוסר התלות,

 


 

אפשר כמובן להכליל משפט זה ליותר משני מאורעות.

אי-תלות בזוגותעריכה

לפעמים קבוצת מאורעות אינם בלתי-תלויים, אך כל שני מאורעות מתוכם אכן בלתי-תלויים (זו דרישה חלשה יותר).

הגדרה: אי-תלות בזוגות

  בלתי-תלויים בזוגות אם לכל   מתקיים:   .

קל לראות כי אם   בלתי-תלויים, אז הם בלתי-תלויים בזוגות. הדוגמה הבאה מראה שההפך אינו מתקיים בהכרח.



דוגמה:

נניח שמגרילים שלושה מספרים:

  1. את המספר הראשון קובעים בעזרת הטלת מטבע הוגן. אם התוצאה "עץ", הערך הוא 0, ואחרת הוא 1.
  2. את המספר השני קובעים באותו אופן ע"י מטבע הוגן אחר.
  3. המספר השלישי הוא פעולת ה-xor על שני המספרים הראשונים.

קל לראות ששלושת המאורעות של קבלת 0 אינם בלתי-תלויים, אך קבלת 0 בכל שניים משלושת המספרים אכן בלתי-תלויים.


הפרק הקודם:
המודל ההסתברותי
אי תלות בין מאורעות הפרק הבא:
הסתברות מותנית