הסתברות/אי תלות בין משתנים מקריים

הגדרה: אי-תלות בין משתנים מקריים יהי $\ {\vec {X}}=(X_{1},...,X_{n})$ ו"א. אם כל רכיבי הוקטור בלתי תלויים, אז פונקצית ההתפלגות המשותפת מתפרקת למכפלת פונקציות ההתפלגות השוליות: $\ F_{X_{1},...,X_{n}}(x_{1},...,x_{n})=F_{X_{1}}(x_{1})F_{X_{2}}(x_{2})...F_{X_{n}}(x_{n})$, או בכתיב וקטורי: $\ F_{\vec {X}}({\vec {x}})=\prod \limits _{i=1}^{n}F_{X_{i}}(x_{i})$.

שימו לב כי קשר זה נובע מתכונת פונקצית ההסתברות עבור מאורעות בלתי תלויים. לשם הפשטות נראה זאת עבור ו"א דו מימדי:

$\ F_{X,Y}(x,y)=\mathbb {P} (X\leq x,Y\leq y)=\mathbb {P} (X\leq x)\mathbb {P} (Y\leq y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)$

כעת, אם נגזור את שני אגפי המשוואה n פעמים, נקבל משוואה דומה עבור פונקציות הצפיפות:

$\ f_{X_{1},...,X_{n}}(x_{1},...,x_{n})=f_{X_{1}}(x_{1})f_{X_{2}}(x_{2})...f_{X_{n}}(x_{n})$

שימו לב כי לפונקצית הצפיפות של משתנים בלתי תלויים תחומים המקבילים לצירים. כל למשל במקרה הדו-מימדי, פונקצית הצפיפות תראה כמו מלבן (או אוסף של מלבנים), ובמקרה התלת מימדי - תיבה (או אוסף של תיבות).

דוגמאות

(להשלים)

-

אי תלות בין משתנים מקריים

-