הסתברות/התניה של וקטורים אקראיים

דוגמאות

• יהי (X,Y) ו"א אי שלילי בעל פונקצית הצפיפות $\ f_{X,Y}(x,y)=cxye^{-(2x^{2}+y^{2})}$, כאשר c קבוע נרמול חיובי מתאים. מהי ההסתברות $\ \mathbb {P} (X\leq 1|Y\leq 2)$ ..?

שימו לב כי אין זו צפיפות גאוסית בגלל הגורם הכפלי לפני האקספוננט.

פתרון: התחום הנתון הוא המלבן $\ (0,\infty )^{2}$, וניתן לפרק את פונקצית הצפיפות המשותפת לפונקציה ב-x ולפונקציה ב-y, ולכן הם בלתי תלויים ולכן:

$\ \mathbb {P} (X\leq 1|Y\leq 2)=\mathbb {P} (X\leq 1)=\int \limits _{-\infty }^{1}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X,Y}(x,y)dydx=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{\infty }cxye^{-(2x^{2}+y^{2})}dydx=$

$\ ={c \over 2}\int \limits _{0}^{1}xe^{-2x^{2}}dx={c \over 2}\left(-{1 \over 4}e^{-2}+{1 \over 4}\right)$

כעת נמצא את הקבוע:

$\ 1=\left.-{1 \over 4}e^{-2x^{2}}\right|_{0}^{\infty }\cdot \left.-{1 \over 2}e^{-y^{2}}\right|_{0}^{\infty }={1 \over 4}{1 \over 2}={1 \over 8}\ \Rightarrow \ c=8$

כך שבסופו של דבר: $\ \mathbb {P} (X\leq 1)=1-e^{-2}$.

דרך אחרת: נרצה להשתמש בנוסחה $\ f_{X|Y}(x|y)={f_{X,Y}(x,y) \over f_{Y}(y)}$. כמו כן, אם נחשוב קדימה ונזכר בנוסחאות לצפיפות מותנית, נסיק כי אין צורך לחשב את הקבוע c. נחשב תחילה את הצפיפות השולית באמצעות הצפיפות המשותפת:

$\ f_{Y}(y)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X,Y}(x,y)dx=\int \limits _{0}^{\infty }cxye^{-(2x^{2}+y^{2})}dx=cye^{-y^{2}}\int \limits _{0}^{\infty }xe^{-2x^{2}}dx=$

$\ =\left.-{c \over 4}ye^{-y^{2}}e^{-2x^{2}}\right|_{x=0}^{\infty }={c \over 4}ye^{-y^{2}}$

כעת נציב בנוסחה:

$\ f_{X|Y}(x|y)={f_{X,Y}(x,y) \over f_{Y}(y)}={cxye^{-(2x^{2}+y^{2})} \over {c \over 4}ye^{-y^{2}}}=4xe^{-2x^{2}}$

(האם התוצאה מחייבת ש-X בלתי תלוי ב-Y?)

כעת:

$\ \mathbb {P} (X\leq 1|Y\leq 2)=F_{X|Y}(1|2)=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{2}4xe^{-2x^{2}}dxdy=\int \limits _{0}^{1}4xe^{-2x^{2}}dx\int \limits _{0}^{2}dy=$

$\ =\int \limits _{0}^{1}8xe^{-2x^{2}}dx=\left.-2e^{-2x^{2}}\right|_{0}^{1}=2-2e^{-2}$

שימו לב: יש טעות בדרך שטרם נמצאה. צריך לצאת: $\ 1-e^{-2}$.

• יהי (X,Y,Z) ו"א המפולג באחידות בתחום $\ D=\{(x,y,z)|x+y+z\leq 2,\ x,y,z\geq 0\}$. מהי התוחלת $\ \mathbb {E} (X|Y,Z)$ ..?

פתרון: מדובר בוקטור אחיד שצפיפותו היא מספר קבוע, ולכן נמצא תחילה מספר זה (מעשית, אין בו צורך כי הוא ממילא יצטמצם מאוחר יותר):

$\ 1=c\cdot \int \limits _{0}^{2}dz\int _{0}^{2-z}dy\int \limits _{0}^{2-z-y}dx=...={4 \over 3}\ \Rightarrow \ c={3 \over 4}$

כעת, על מנת להשתמש בהגדרת הצפיפות המותנית עבור $\ f_{X|Y,Z}$, יש למצוא תחילה את הצפיפות המשותפת $\ f_{Y,Z}$:

$\ f_{Y,Z}(y,z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X,Y,Z}(x,y,z)dx=\int \limits _{0}^{2-z-y}{3 \over 4}dx={3 \over 4}(2-z-y)$

שימו לב כי התחום הרלוונטי הוא $\ y+z<2$. נציב בנוסחת הצפיפות המותנית:

$\ f_{X|Y,Z}(x|y,z)={f_{X,Y,Z}(x,y,z) \over f_{Y,Z}(y,z)}={{3 \over 4} \over {3 \over 4}(2-z-y)}={1 \over 2-z-y}$

לבסוף:

$\ \mathbb {E} (X|Y,Z)=\int \limits _{0}^{2-z-y}{x \over 2-z-y}dx={1 \over 2}(2-z-y)$

דרך אחרת: בהינתן X,Y מתקבל ש- $\ X\sim U[0,2-Z-Y]$ ולכן $\ \mathbb {E} (X|Y,Z)={2-z-y \over 2}$.

-

התניה של וקטורים אקראיים

-