עריכה
הראה כי הסתברות המאורע הריק היא 0, כלומר
P
(
∅
)
=
0
{\displaystyle \mathbb {P} (\varnothing )=0}
הפתרון
עבור מאורע
A
{\displaystyle A}
P
(
A
)
=
P
(
∅
∪
A
)
=
P
(
∅
)
+
P
(
A
)
{\displaystyle \mathbb {P} (A)=\mathbb {P} (\varnothing \cup A)=\mathbb {P} (\varnothing )+\mathbb {P} (A)}
וזאת משום שהמאורע הריק זר למאורע
A
{\displaystyle A}
עריכה
נניח קבוצה אינסופית (בת מניה ) של כדורים בעלי מספרים
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle 0,1,2,\dots }
k
{\displaystyle k}
P
(
k
)
=
p
q
k
{\displaystyle \mathbb {P} (k)=pq^{k}}
מה צריכים לקיים
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
מה הסיכוי להגרלת כדור זוגי?
הפתרון
מאקסיומת ההסתברות הראשונה נקבל את הדרישה
∀
k
:
0
≤
p
q
k
≤
1
{\displaystyle \forall k:0\leq pq^{k}\leq 1}
ומהשניה
∑
k
0
≤
p
q
k
=
1
{\displaystyle \sum _{k}0\leq pq^{k}=1}
מהדרישה הראשונה נוכל להסיק
p
,
q
≥
0
{\displaystyle p,q\geq 0}
ומהשניה, בעזרת פיתוח טור הנדסי ,
p
1
−
q
=
1
⇒
p
=
1
−
q
{\displaystyle {\frac {p}{1-q}}=1\Rightarrow p=1-q}
אלו התנאים הנדרשים לכך שפונקציית ההסתברות תהיה חוקית.
על-מנת לקבל את ההסתברות להגרלת כדור זוגי, נחשב את הטור המתאים:
∑
k
[
p
q
2
k
]
=
p
1
−
q
2
{\displaystyle \sum _{k}\left[pq^{2k}\right]={\frac {p}{1-q^{2}}}}
עריכה
הדף נמצא בשלבי עבודה :התנגשויות עריכה ועבודה כפולה אתם מתבקשים שלא לערוך ערך זה בטרם תוסר הודעה זו, אלא אם כן תיאמתם זאת עם מניחי התבנית.
אם הדף לא נערך במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך אותו, אך רצוי לתת קודם תזכורת בדף שיחת הכותבים.
דוגמא זו ממחישה כי כאשר מדובר בבחירה מקרית ובמרחב מדגם סימטרי, ההסתברות מתנהגת כמו פרופורציה. נניח כי בקבוצה
G
{\displaystyle G}
M
=
9
{\displaystyle M=9}
W
=
11
{\displaystyle W=11}
M
M
+
W
=
0.45
=
45
%
{\displaystyle {\frac {M}{M+W}}=0.45=45\%}
Ω
=
{
W
1
,
W
2
,
…
,
W
11
,
M
1
,
M
2
,
…
,
M
9
}
,
|
Ω
|
=
20
{\displaystyle \Omega =\{W_{1},W_{2},\dots ,W_{11},M_{1},M_{2},\dots ,M_{9}\}\ ,\ |\Omega |=20}
1
20
{\displaystyle {\frac {1}{20}}}
נבחן כעת דוגמא אחרת: בוחרים באופן מקרי 3 אנשים מתוך הקבוצה. הבחירה היא ללא חזרות וללא חשיבות לסדר, כי מדובר בבני אדם. נרצה לדעת כמה אפשרויות (צירופים) כאלה קיימות. במקרה זה:
Ω
=
{
(
W
1
,
W
2
,
W
3
)
,
(
W
1
,
W
2
,
W
4
)
,
(
W
1
,
W
2
,
W
5
)
,
…
,
(
W
1
,
W
2
,
M
1
)
,
(
W
1
,
W
2
,
M
2
)
,
…
{\displaystyle \Omega =\{(W_{1},W_{2},W_{3}),(W_{1},W_{2},W_{4}),(W_{1},W_{2},W_{5}),\dots ,(W_{1},W_{2},M_{1}),(W_{1},W_{2},M_{2}),\dots }
(
M
1
,
M
2
,
M
3
)
,
(
M
1
,
M
2
,
M
4
)
,
…
,
(
M
7
,
M
8
,
M
9
)
}
{\displaystyle (M_{1},M_{2},M_{3}),(M_{1},M_{2},M_{4}),\dots ,(M_{7},M_{8},M_{9})\}}
או בקיצור:
(
20
3
)
=
20
!
3
!
17
!
=
1140
,
|
Ω
|
=
1140
{\displaystyle {20 \choose 3}={\frac {20!}{3!17!}}=1140\ ,\ |\Omega |=1140}
מה הסיכוי ששלושתם גברים?
(
9
3
)
=
84
{\displaystyle {9 \choose 3}=84}
P
(
A
M
=
3
)
=
84
1140
=
7
95
≈
7
%
{\displaystyle \mathbb {P} (A_{M=3})={\frac {84}{1140}}={\frac {7}{95}}\approx 7\%}
P
(
A
M
=
3
)
=
(
9
3
)
(
20
3
)
=
7
95
{\displaystyle \mathbb {P} (A_{M=3})={\frac {9 \choose 3}{20 \choose 3}}={\frac {7}{95}}}
מה הסיכוי שייבחר אדם ספציפי מתוך ה-3?
(
19
2
)
=
171
{\displaystyle {19 \choose 2}=171}
P
(
A
i
)
=
171
1140
=
0.15
{\displaystyle \mathbb {P} (A_{i})={\frac {171}{1140}}=0.15}
P
(
A
i
)
=
1
20
+
19
20
⋅
1
19
+
19
20
⋅
18
19
⋅
1
18
=
3
20
=
0.15
{\displaystyle \mathbb {P} (A_{i})={\frac {1}{20}}+{\frac {19}{20}}\cdot {\frac {1}{19}}+{\frac {19}{20}}\cdot {\frac {18}{19}}\cdot {\frac {1}{18}}={\frac {3}{20}}=0.15}
![{\displaystyle \sum _{k}\left[pq^{2k}\right]={\frac {p}{1-q^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffc00fb85a22fe858b76423761ef577f3a48d0ac)
